【題目】如圖,P為正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B、C不重合),點Q在CD邊上,且BP=CQ,連接AP、BQ交于點E,將△BQC沿BQ所在直線對折得到△BQN,延長QN交BA的延長線于點M.

(1)求證:AP⊥BQ;
(2)若AB=3,BP=2PC,求QM的長;
(3)當BP=m,PC=n時,求AM的長.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.

∴在△ABP和△BCQ中,

,

∴△ABP≌△BCQ,

∴∠BAP=∠CBQ.

∵∠BAP+∠APB=90°,

∴∠CBQ+∠APB=90°,

∴∠BEP=90°,

∴AP⊥BQ;


(2)

解:∵正方形ABCD中,AB=3,BP=2CP,

∴BP=2,

由(1)可得NQ=CQ=BP=2,NB=3.

又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ,

∴MQ=MB.

設(shè)MQ=MB=x,則MN=x﹣2.

在直角△MBN中,MB2=BN2+MN2

即x2=32+(x﹣2)2,

解得:x= ,即MQ=


(3)

解:∵BP=m,CP=n,

由(1)(2)得MQ=BM,CQ=QN=BP=m,

設(shè)AM=y,BN=BC=m+n,

在直角△BNM中,MB=y+m+n,MN=MQ﹣QN=(y+m+n)﹣m=y+n,

(y+m+n)2=(m+n)2+(y+n)2,

即y2+2(m+n)y+(m+n)2=(m+n)2+y2+2ny+n2

則y= ,AM=


【解析】(1)證明△ABP≌△BCQ,則∠BAP=∠CBQ,從而證明∠CBQ+∠APB=90°,進而得證;(2)設(shè)MQ=MB=x,則MN=x﹣2.在直角△MBN中,利用勾股定理即可列方程求解;(3)設(shè)AM=y,BN=BC=m+n,在直角△BNM中,MB=y+m+n,MN=MQ﹣QN=(y+m+n)﹣m=y+n,利用勾股定理即可求解.

練習冊系列答案
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(1)B出發(fā)時與A相距   千米.

(2)B走了一段路后,自行車發(fā)生故障,進行修理,所用的時間是   小時.

(3)B出發(fā)后   小時與A相遇.

(4)求出A行走的路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系式.

(5)若B的自行車不發(fā)生故障,保持出發(fā)時的速度前進,   小時與A相遇,相遇點離B的出發(fā)點   千米.在圖中表示出這個相遇點C.

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第一步,分別以點A、D為圓心,以大于 AD的長為半徑在AD兩側(cè)做弧,交于兩點M、N;
第二步,連接MN分別交AB、AC于點E、F;
第三步,連接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,則BE的長是( ).

A.2
B.4
C.6
D.8

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【題目】如圖,直線AB,CD相交于點O,射線OM平分∠AOC,ON⊥OM.

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(2)若∠BON=50°,求∠AOM和∠CON的度數(shù).

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【題目】如圖,四邊形 ABCD 中,AB=AD,AC=5,DAB=DCB=90°, 則四邊形 ABCD 的面積為(

A. 15 B. 14.5 C. 13 D. 12.5

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(1)求拋物線的解析式;
(2)點K是x軸正半軸上一點,點A、P關(guān)于點K的對稱點分別為 、 ,連接 、 ,若 ,求點K的坐標;
(3)矩形ADEF的邊AF在x軸負半軸上,邊AD在第二象限,AD=2,DE=3.將矩形ADEF沿x軸正方向平移t(t>0)個單位,直線AD、EF分別交拋物線于G、H.問:是否存在實數(shù)t,使得以點D、F、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

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(2)若AE是△ABC的中線,則四邊形AECD是什么特殊四邊形?證明你的結(jié)論.

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