Question

17．請閱讀下面的材料，并回答所提出的問題．
三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線，求證：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
分析：要證$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似．現(xiàn)在B、D、C在一直線上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比．
在比例式$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CE∥AD，交BA的延長線于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE，這樣，證明$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$就可以轉(zhuǎn)化為證AE=AC．
（1）證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．（完成以下證明過程）
∴AE=AC等角對等邊
∴△BAD∽△BEC，∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{BE}$相似三角形對應邊成比例
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
（2）用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求：BD的長． 

Answer 1

分析 （1）過C作CE∥DA，交BA的延長線于E，利用兩直線平行內(nèi)錯角、同位角相等得到兩對角相等，再由AD為角平分線，得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AE=AC，由三角形BAD與三角形BEC相似，由相似得比例，等量代換即可得證；
（2）利用（1）中的結(jié)論，求出BD的長即可．

解答 （1）證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E，
∴∠2=∠3，∠1=∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠E=∠3，
∴AE=AC（等角對等邊），
∴△BAD∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AB}{BE}$（相似三角形對應邊成比例），
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AB}{AC}$；
故答案為：等角對等邊，相似三角形對應邊成比例；
（2）解：∵△ABC中，AD是角平分線，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∵AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm，
∴$\frac{5}{4}$=$\frac{BD}{7-BD}$，
解得：BD=$\frac{35}{9}$cm．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，弄清題中角平分線性質(zhì)定理是解本題的關鍵．