Question

【題目】小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過(guò)程：

特例驗(yàn)證：（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則長(zhǎng)為________．

猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使與之間滿足小明探究的問(wèn)題中的邊角關(guān)系？若存在，請(qǐng)畫出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不需要說(shuō)明）并直接寫出的邊上的中線的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②4，（2）；理由見解析，（3）存在；

【解析】

（1）①首先證明是含有的直角三角形，可得，即可解決問(wèn)題；②首先證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問(wèn)題．

（2）與的數(shù)量關(guān)系為，如圖5，延長(zhǎng)到，使，連接、，先證四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問(wèn)題．

（3）存在，如圖6，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，做直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，先證明，，再證明，即可得出結(jié)論，再在中，根據(jù)勾股定理，即可求出的長(zhǎng)．

（1）①如圖2，∵是等邊三角形，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，

又∵是邊上的中線，∴，

∴，即，

∵，，

∴，

∴，

∴在中，，，

∴．

故答案為：．

②如圖3，∵，，

∴，即和為直角三角形，

∵把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，，

∴在和中，

∴，

∴，

∵是邊上的中線，為直角三角形，

∴，

又∵，

∴．

故答案為：．

（2），

如圖5，延長(zhǎng)到，使，連接、，

圖5

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴在和中，

∴，

∴，

∴．

（3）存在，

如圖6，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，作于，作直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，

圖6

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，

∵，，，

∴，，，

在中，

∵，，，

∴，

∴，

∵，∴，

∵，∴，，

在中，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴與之間滿足小明探究的問(wèn)題中的邊角關(guān)系，

在中，∵，，，

∴．