【題目】小明研究了這樣一道幾何題:如圖1,在中,把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接.當(dāng)時(shí),請(qǐng)問上的中線的數(shù)量關(guān)系是什么?以下是他的研究過程:

特例驗(yàn)證:(1)①如圖2,當(dāng)為等邊三角形時(shí),猜想的數(shù)量關(guān)系為_______;②如圖3,當(dāng),時(shí),則長為________

猜想論證:(2)在圖1中,當(dāng)為任意三角形時(shí),猜想的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

拓展應(yīng)用:(3)如圖4,在四邊形,,,,,在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn),使之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系?若存在,請(qǐng)畫出點(diǎn)的位置(保留作圖痕跡,不需要說明)并直接寫出的邊上的中線的長度;若不存在,說明理由.

【答案】1)①;②4,(2;理由見解析,(3)存在;

【解析】

1)①首先證明是含有的直角三角形,可得,即可解決問題;②首先證明,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題.

2的數(shù)量關(guān)系為,如圖5,延長,使,連接、,先證四邊形是平行四邊形,再證明,即可解決問題.

3)存在,如圖6,延長的延長線于,作,做直線的垂直平分線交,交,連接、,作的中線,連接,先證明,,再證明,即可得出結(jié)論,再在中,根據(jù)勾股定理,即可求出的長.

1)①如圖2,∵是等邊三角形,把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

,

又∵上的中線,∴,

,即

,

,

,

∴在中,,

故答案為:

②如圖3,∵,,

,即為直角三角形,

∵把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

,

∴在中,

,

上的中線,為直角三角形,

,

又∵,

故答案為:

2

如圖5,延長,使,連接、,

5

,

∴四邊形是平行四邊形,

,

,,

,

,

∴在中,

,

3)存在,

如圖6,延長的延長線于,作,作直線的垂直平分線交,交,連接、、,作的中線,連接

6

,

,

,

中,

,,,

,,,

中,

,,,

,

,∴,

,∴,,

中,

,,

,

,

,

,

∴四邊形是矩形,

,

,

是等邊三角形,

,

,

,

之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系,

中,∵,,

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)為常數(shù)).

1)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像與軸總有公共點(diǎn).

2)求證:不論為何值,該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上.

3)已知點(diǎn)、,線段與函數(shù)的圖像有公共點(diǎn),則的取值范圍是__________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在中,,的平分線,點(diǎn)上,經(jīng)過點(diǎn),兩點(diǎn),與,分別交于點(diǎn),

1)求證:相切;

2)若,,求的半徑的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位,均在格點(diǎn)上,按如下要求作圖.

1)將線段點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn);

2)以為對(duì)角線畫一個(gè)各邊都不相等的四邊形,且,此時(shí)四邊形的面積為_______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理:在ABC 中,R r 分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O I 分別為其外心和內(nèi)心,則OI R2Rr .

下面是該定理的證明過程(借助了第(2)問的結(jié)論):

延長AI 交⊙O 于點(diǎn) D,過點(diǎn) I 作⊙O 的直徑 MN,連接 DM,AN.

∵∠D=N,∴∠DMI=NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等),

∴△MDI∽△ANI.,∴ IA ID IM IN

如圖②,在圖 1(隱去 MDAN)的基礎(chǔ)上作⊙O 的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF

DE 是⊙O 的直徑,∴∠DBE=90°.

∵⊙I AB 相切于點(diǎn) F,∴∠AFI=90°,

∴∠DBE=IFA.

∵∠BAD=E(同弧所對(duì)圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB

,∴②,

由(2)知:,

又∵,

2Rr(R d )(R d ) ,

R d 2Rr

d R 2Rr

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn): IM R d , IN (用含R,d 的代數(shù)式表示);

2)請(qǐng)判斷 BD ID 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(請(qǐng)利用圖 1 證明)

3)應(yīng)用:若ABC 的外接圓的半徑為 6cm,內(nèi)切圓的半徑為 2cm,則ABC 的外心與內(nèi)心之間的距離為   cm

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AEBD于點(diǎn)E,CFBD于點(diǎn)F,連接AF,CE,若DE=BF,則下列結(jié)論:

①CF=AE;②OE=OF;③圖中共有四對(duì)全等三角形;④四邊形ABCD是平行四邊形;其中正確結(jié)論的是_____________________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直平分半徑OA,C為垂足,弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P,連接EF、EO,若DE2,∠DPA45°.則圖中陰影部分的面積為____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在等腰△ABC中,ADBC交直線BC于點(diǎn)D,若AD=BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,⊙B的半徑為2P⊙B上的動(dòng)點(diǎn),則PD+PC的最小值等于_____

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