Question

已知拋物線y=ax²-x-c過點A（-6，0），與y軸交于點B，頂點為D，對稱軸是直線x=-2．
（1）求此拋物線的表達式及點D的坐標；
（2）連接DO，求證：∠AOD=∠ABO；
（3）點P在y軸上，且△ADP與△AOB相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將對稱軸是直線x=-2，以及點A（-6，0），代入解析式求出即可；
（2）過D作DH⊥x軸，利用D（-2，4），得出在Rt△DHO中tan∠AOD=2，進而得出∠AOD=∠ABO；
（3）分別根據(jù)情況1：若∠DAP=90°，情況2：若∠ADP=90°，情況3：若∠APD=90°，分析得出P點坐標即可．
解答：解：（1）由題意得，
解得，
∴拋物線的表達式為y=-x²-x+3，
頂點D坐標為（-2，4）；

（2）過D作DH⊥x軸，
∵D（-2，4），
∴在Rt△DHO中tan∠AOD=2，
又∵B（0，3），A（-6，0），
∴在Rt△ABO中tan∠ABO=2，
∴∠AOD=∠ABO；
             
（3）∵△ADP與△AOB相似，而△AOB為直角三角形，
∴△ADP也為直角三角形，
∴情況1：若∠DAP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠DAO=45°，∴∠OAP=45°，
∴P（0，-6）
但此時AD=4，AP=6，
∴=，又=，
∴△ADP與△AOB不相似，
∴此時點P不存在．           
情況2：若∠ADP=90°，
∵D（-2，4），A（-6，0），
∴∠ADH=45°，∴∠HDP=45°，
∴P（0，2）
此時，==，=，且∠ADP=∠AOB，
∴△ADP與△AOB相似，
即當P（0，2）時，使得△ADP與△AOB相似．
情況3：若∠APD=90°，設(shè)P（0，t），
則AP²+PD²=AD²，
即36+t²+4+（t-4）²=32，得t²-4t+12=0，
∵△＜0，
∴無解，
∴點P不存在．
綜上所述，點P的坐標是（0，2）．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)與判定，以及分類討論思想的應(yīng)用，根據(jù)△ADP不同角為90度分別得出是解題關(guān)鍵．