Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，1）的拋物線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）聯(lián)結(jié) AB，過(guò)點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l相切，先補(bǔ)全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系并加以證明；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式為y=a（x-4）²+1，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）令y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，設(shè)⊙C與對(duì)稱(chēng)軸l相切于F，根據(jù)圓的半徑求出CF，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于E，求出△AOB和△BEC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CE，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解即可；
（3）根據(jù)拋物線解析式設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-

1

4

x²+2x-3），過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線AC于Q，求出直線AC的解析式并表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后求出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題確定出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再求出縱坐標(biāo)，即可得解．

解答：（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（4，1），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-4）²+1，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，0），
∴a（6-4）²+1=0，
解得a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

（x-4）²+1=-

1

4

x²+2x-3，
所以，拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+2x-3；

（2）補(bǔ)全圖形如圖所示；直線BD與⊙C相離．
證明：令y=0，則-

1

4

x²+2x-3=0，
整理得，x²-8x+12=0，
解得x₁=2，x₂=6，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（2，0），
又∵拋物線交y軸于點(diǎn)A，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∴AB=

32+22

=

13

，
設(shè)⊙C與對(duì)稱(chēng)軸l相切于點(diǎn)F，則⊙C的半徑CF=2，
作CE⊥BD于點(diǎn)E，則∠BEC=∠AOB=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠CBE=90°-∠ABO，
又∵∠BAO=90°-∠ABO，
∴∠BAO=∠CBE，
∴△AOB∽△BEC，
∴

CE

OB

=

BC

AB

，
即

CE

2

=

4

13

，
解得CE=

8

13

＞2，
∴直線BD與⊙C相離；

（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q，
∵A（0，-3），C（6，0），
∴直線AC解析式為y=

1

2

x-3，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-

1

4

m²+2m-3），
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，

1

2

m-3），
∴PQ=-

1

4

m²+2m-3-（

1

2

m-3）=-

1

4

m²+

3

2

m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ，
=

1

2

×（-

1

4

m²+

3

2

m）×6，
=-

3

4

m²+

9

2

m，
=-

3

4

（m-3）²+

27

4

，
∴當(dāng)m=3時(shí)，△PAC的面積最大為

27

4

，
∵當(dāng)m=3時(shí)，-

1

4

m²+2m-3=-

1

4

×3²+2×3-3=

3

4

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

3

4

），
綜上所述，P點(diǎn)的位置是（3，

3

4

），△PAC的最大面積是

27

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，（1）用頂點(diǎn)形式設(shè)出拋物線解析式更簡(jiǎn)便，（2）關(guān)鍵在于求出兩個(gè)三角形相似，（3）把△APC分成兩個(gè)三角形表示出面積是解題的關(guān)鍵．