Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：對于圖形G及圖形G外一點P，若圖形G上存在一點M，滿足PM=2，且使點P繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的對應(yīng)點P’在這個圖形G上，則稱點P為圖形G的“2旋轉(zhuǎn)點”．

已知點A（－1，0），B（－1，2），C（2，-2），D（0，3），E（2，2），F（3，0）

（1）①判斷：點B________線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”（填“是”或“不是”）；

②點C，D，E中，是線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”的有_________；

（2）已知直線，若直線l上存在線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”，求b的取值范圍；

（3）⊙T是以點T（t，0）為圓心，為半徑的一個圓，已知在線段AD上存在這個圓的“2旋轉(zhuǎn)點”， 直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①是；②C；D；（2）－5≤b≤－3和1≤b≤3；（3）--1≤t≤-1．

【解析】

（1）①根據(jù)“2旋轉(zhuǎn)點”的定義進(jìn)行判斷即可；

②同理，根據(jù)“2旋轉(zhuǎn)點”的定義進(jìn)行判斷即可；

（2）如圖3，分別計算兩個分界點時兩直線中的b值，一條直線經(jīng)過點B，另一條直線經(jīng)過點L，可得結(jié)論；

（3）首先找到⊙T的“2旋轉(zhuǎn)點”，所在的軌跡，并由軌跡和線段AD有交點時的兩個邊界情況，即可得到t的范圍.

（1）①如圖1，連接AB，

∵A（-1，0），B（-1，2），

∴AB⊥x軸，

∴∠BAF=90°，

滿足點B繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點B′，且B'在線段AF上，則稱點B為線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”；

故答案為：是；

②如圖2，連接EC交x軸于點M，

∵C（2，-2），E（2，2），

∴CE⊥x軸，

由題意得：點D（0，3）到線段AF的最短距離為3＞2，則稱點D不是線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”，

同理得：點C（2，-2）且M（2,0）繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點O，且O在線段AF上，則稱點C為線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”，

點E（2，2）繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點E′，但E'不在線段AF上，所以點E不是線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”；

故答案為：C；

（2）如圖3，過B作直線l：y=x+b，

把B（-1，2）代入得：2=-1+b，b=3，

在x軸上，F的左邊取一點H，使FH=2，過H作HK⊥x軸，使KH=2，過K作KL∥l，交y軸于L，

∴K（1，2），

設(shè)直線KL的解析式為：y=x+b1，

把K（1，2）代入得：2=1+b1，b1=1，

∴若線段l上存在線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”，則b的取值范圍是：1≤b≤3；

同理，線段AF的“2旋轉(zhuǎn)點”，位于兩條線段上的端點坐標(biāo)分別為（1，－2）和（3，－2）時，可得b的取值范圍是：－5≤b≤－3；

故B的取值范圍為：－5≤b≤－3和1≤b≤3；

（3）t的取值范圍：≤ t ≤．

理由：⊙T的“2旋轉(zhuǎn)點”，位于半徑為的同心圓上，

如圖，當(dāng)點T位于點A右側(cè)，且“2旋轉(zhuǎn)點”所在圓與AD相切時，切點為M，

＝＝＝，∴＝，∴AT＝，∴ t＝

當(dāng)點T位于點A左側(cè)，且“2旋轉(zhuǎn)點”所在圓經(jīng)過點A時，t＝

∴≤ t ≤