【題目】(1)如圖1,已知:在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為:在ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且∠BDA=AEC=BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用:如圖3,D、ED、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)

互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且ABFACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=AEC=BAC,試判斷DEF的形狀.

【答案】(1)證明見解析;(2)成立,證明見解析;(3)DEF是等邊三角形.證明見解析.

【解析】試題分析:(1)利用已知得出∠CAE=∠ABD,進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE,即可得出DE=BD+CE;

2)根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,得出∠CAE=∠ABD,在△ADB△CEA中,根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA,從而得出AE=BD,AD=CE,即可證出DE=BD+CE;

3)與前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA,則BD=AE∠DBA=∠CAE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60°,則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,則∠DBF=∠FAE,

利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形.則

DF=EF

解:(1DE=BD+CE.理由如下:

如圖1∵BD⊥l,CE⊥l

∴∠BDA=∠AEC=90°

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠CAE=∠ABD

△ABD△CAE中,

,

∴△ABD≌△CAEAAS

∴BD=AEAD=CE,

∵DE=AD+AE

∴DE=CE+BD;

2)如圖2,∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,

∴∠CAE=∠ABD,

△ADB△CEA中,

,

∴△ADB≌△CEAAAS),

∴AE=BD,AD=CE,

∴BD+CE=AE+AD=DE;

3DF=EF.理由如下:

由(2)知,△ADB≌△CAE,

BD=EA,∠DBA=∠CAE,

∵△ABF△ACF均為等邊三角形,

∴∠ABF=∠CAF=60°,

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,

∴∠DBF=∠FAE,

∵BF=AF

△DBF△EAF中,

,

∴△DBF≌△EAFSAS),

∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,

∴△DEF為等邊三角形.

∴DF=EF

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