Question

如圖，已知矩形ABCD，
（1）用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)分別在AD和BC上找一個(gè)點(diǎn)E、F，使得四邊形BEDF為一個(gè)菱形（不寫作法，保留作圖痕跡），并給出證明．
（2）若AD=8，CD=6，求此菱形邊長(zhǎng)BE和對(duì)角線EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）連接BD，作BD的垂直平分線交AD、BC與E、F，連接BE，DF即可；
∵EF是BD的垂直平分線，
∴BE=ED，BF=DF，OB=OD，∠EOD=∠FOB=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△EOD和△FOB中
∵，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED=BF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四邊形EBFD是菱形；
（2）設(shè)BE=x，則ED=x，AE=8-x，
在Rt△AEB中：
∵BE²=AE²+AB²，
∴x²=（8-x）²+6²，
解得：x=，
∴BE=，
在Rt△ADB中：
∵BD²=AB²+AD²，
∴BD==10，
∴BO=5，
∴EO===，
∴EF=．
分析：（1）連接BD，作BD的垂直平分線交AD、BC與E、F，點(diǎn)E、F即為所求的點(diǎn)；根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=ED，BF=DF，OB=OD，∠EOD=∠FOB=90°，然后再證明△EOD≌△FOB，可證出ED=BF，進(jìn)而得到BE=ED=DF=BF，故四邊形EBFD是菱形；
（2）設(shè)BE=x，則ED=x，AE=8-x，在Rt△AEB中利用勾股定理可以算出x的值，再在Rt△ADB中求出BD的長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理可以計(jì)算出EO，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分可得EF的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確畫出圖形，熟練掌握菱形的判定方法．