Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)M沿AB方向從A向B以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從D沿DA方向以1cm/秒的速度移動(dòng)，如果M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，移動(dòng)的時(shí)間為x秒（0≤x≤6）．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，△MAN為等腰直角三角形？
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，有△MAN∽△ABC？
（3）愛動(dòng)腦筋的小紅同學(xué)在完成了以上聯(lián)系后，對(duì)該問題作了深入的研究，她認(rèn)為：在M、N的移動(dòng)過程中（N不與D、A重合，M不與A、B重合），以A、M、C、N為頂點(diǎn)的四邊形面積是一個(gè)常數(shù)．她的這種想法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)出理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x秒時(shí)，△MAN為等腰直角三角形，則AM=AN，根據(jù)已知分別表示出AM，AN的長(zhǎng)，根據(jù)得出的等量關(guān)系列方程即可求得時(shí)間．
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列方程，即可求得時(shí)間．
（3）分別求得四邊形AMCN的面積及矩形的面積，根據(jù)其面積發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律即可．

解答：解：（1）依題意，x秒時(shí)，△MAN為等腰直角三角形
∴AM=2x（cm），AN=6-x（cm）
∴2x=6-x
∴x=2
∴x=2時(shí)，△MAN為等腰直角三角形．

（2）∵當(dāng)△MAN∽△ABC時(shí)，

AM

AB

=

AN

BC

∴

2x

12

=

6-x

6

∴x=3
∴當(dāng)x=3時(shí)，△MAN∽△ABC．

（3）她的說(shuō)法正確；連接CN，CM，
∵S_{四邊形AMCN}=S_△ACN+S_△ACM=

1

2

•2x•6+

1

2

（6-x）•12=6x+36-6x=36（cm²）
S_矩形ABCD=12×6=72（cm²）
∴S_{四邊形AMCN}=

1

2

S_矩形ABCD，是一個(gè)常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定及相似的三角形的判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力．