Question

如圖，Rt△ABC（∠ABC=90°）的頂點(diǎn)A是雙曲線(xiàn)y=

k

x

與直線(xiàn)y=x+k的在第一象限的交點(diǎn)，C為y=x+k與x軸的交點(diǎn)．若S_△ABO=1，
（1）求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式和△ABC的面積；
（2）點(diǎn)M、N分別在x軸和y軸上，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_△ABO=1，求出k的值，從而得到一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再將y=x+2和y=

2

x

組成方程組，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式求出△ABC的面積；
（2）分兩種情況討論，①AN∥MC，AN=MC時(shí)，四邊形ANMC為平行四邊形，再求出M、N的坐標(biāo)；②MN∥AC，MN=AC時(shí)，四邊形ACNM為平行四邊形，再求出M、N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵∠ABO=90°，S_△ABO=1，
∴k=2S_△ABO=2，
故一次函數(shù)解析式為y=x+2；反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；
當(dāng)y=0時(shí)，對(duì)于x+2=0，x=-2；
C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
將y=x+2和y=

2

x

組成方程組得；

y=x+2 y= 2 x

，
解得x=-1±

3

，y=1±

3

，
由于交點(diǎn)在第一象限，
故A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1+

3

，1+

3

）．
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AB=

1

2

×（-1+

3

+2）×（1+

3

）=2+

3

；

（2）如圖1，作AN⊥y軸，則AN∥MC，
在OC上截取MC=AN，
故四邊形ANMC為平行四邊形．
∵AN=-1+

3

，
∴MC=-1+

3

，
有∵CO=2，
∴MO=2-1+

3

=1+

3

，
∵ON=AB=1+

3

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1+

3

），M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

3

，0）．
如圖2，當(dāng)MN∥AC，MN=AC時(shí)，
四邊形ACNM為平行四邊形，
易得，△ABM≌△NOC，
∴AB=NO，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1+

3

），
∵△ABC≌△NOM，
∴OM=BC=（-1+

3

+2）=1+

3

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的關(guān)系、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義等知識(shí)，旨在考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力．