10.在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸分別交于點A(2,0)、點B(點B在點A的右側),與軸交于點C,tan∠CBA=$\frac{1}{2}$.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)設該拋物線的頂點為D,求四邊形ACBD的面積;
(3)設拋物線上的點E在第一象限,△BCE是以BC為一條直角邊的直角三角形,請直接寫出點E的坐標.

分析 (1)由拋物線解析式和已知條件得出C和B的坐標,(0,3),OC=3,
把A(2,0)、B(6,0)分別代入y=ax2+bx+3得出方程組,解方程即可;
(2)把拋物線解析式化成頂點式得出頂點坐標,四邊形ACBD的面積=△ABC的面積+△ABD的面積,即可得出結果;
(3)設點E的坐標為(x,$\frac{1}{4}$x2-2x+3),分兩種情況:①當∠CBE=90°時;②當∠BCE=90°時;分別由三角函數(shù)得出方程,解方程即可.

解答 解:(1)∵當x=0時,∴C(0,3),OC=3,
在Rt△COB中,∵tan∠CBA=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$,
∴OB=2OC=6,
∴點B(6,0),
把A(2,0)、B(6,0)分別代入y=ax2+bx+3,得:$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{36a+6b+3=0}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴該拋物線表達式為y=$\frac{1}{4}$x2-2x+3;
(2)∵y=$\frac{1}{4}$x2-2x+3=$\frac{1}{4}$(x-4)2-1
∴頂點D(4,-1),
∴四邊形ACBD的面積=△ABC的面積+△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×1=8;
(3)設點E的坐標為(x,$\frac{1}{4}$x2-2x+3),分兩種情況:
①當∠CBE=90°時,
作EM⊥x軸于M,如圖所示:
則∠BEM=∠CBA,
∴$\frac{BM}{EM}$=tan∠BEM=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$,
∴EM=2BM,
即2(x-6)=$\frac{1}{4}$x2-2x+3,
解得:x=10,或x=6(不合題意,舍去),
∴點E坐標為(10,8);
②當∠BCE1=90°時,作E1N⊥y軸于N,
則∠E1CN=∠CBA,
∴$\frac{{E}_{1}N}{CN}$=tan∠E1CN=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$,
∴CN=2E1N,
即2x=$\frac{1}{4}$x2-2x+3-3,
解得:x=16,或x=0(不合題意,舍去),
∴點E1坐標為(16,35);
綜上所述:點E坐標為(10,8)或(16,35).

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線解析式的求法、三角函數(shù)的應用、解方程等知識;本題綜合性強,有一定難度,求出拋物線解析式是解決問題的關鍵.

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