Question

【題目】如圖，平行四邊形中，延長至使，連接交于點，點是線段的中點.

（1）如圖1，若，，求平行四邊形的面積；

（2）如圖2，過點作交于點，于點，連接，若，求證：．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】

（1）首先證明CE⊥AF，想辦法求出CD，AE即可解決問題． （2）證明：如圖2中，連接BE，作EK⊥AC于K．利用全等三角形的性質(zhì)證明AG=EK=KG，即可解決問題．

（1）解：如圖1中，

∵CA=CF，AE=EF， ∴CE⊥AF， ∵CE=1，∠F=30°，

∴CF=CA=2CE=2，AE=EF=，

∵四邊形ABCD 平行四邊形， ∴AD∥CF， ∴∠D=∠ECF，

∵∠AED=∠CEF，AE=EF， ∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴CE=DE=1， ∴CD=2，

∴平行四邊形ABCD的面積=CDAE=．

（2）證明：如圖2中，連接BE，作EK⊥AC于K．

∵CE⊥AF，CE∥AB， ∴AB⊥AE，

∵BG⊥AC， ∴∠BAH=∠AEC=∠AGB=90°，

∴∠ABG+∠BAG=90°，∠BAG+∠CAE=90°，

∴∠ABH=∠CAE， ∵BH=AC， ∴△BAH≌△AEC（AAS），

∴BA=AE=CD，AH=CE=DE， ∴AB=2AH，

∵∠ABG=∠EAK，AB=AE，∠AGB=∠AKE，

∴△BGA≌△AKE（AAS）， ∴AG=EK，

∴tan∠ABH===，

∴tan∠EAK==， ∴AK=2EK， ∴AG=GK， ∴KG=KE，

∵∠EKG=90°， ∴EG==．