【題目】如圖,一次函數(shù)y=k1x+5(k1<0)的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B兩點,與反比例函數(shù)y= (k2>0)的圖象交于M,N兩點,過點M作MC⊥y軸于點C,已知CM=1.
(1)求k2﹣k1的值;
(2)若 = ,求反比例函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)點P是x軸(除原點O外)上一點,將線段CP繞點P按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ,當(dāng)點P滑動時,點Q能否在反比例函數(shù)的圖象上?如果能,求出所有的點Q的坐標(biāo);如果不能,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵M(jìn)C⊥y軸于點C,且CM=1,
∴M的橫坐標(biāo)為1,
當(dāng)x=1時,y=k1+5,
∴M(1,k1+5),
∵M(jìn)在反比例函數(shù)的圖象上,
∴1×(k1+5)=k2,
∴k2﹣k1=5
(2)
解:如圖1,過N作ND⊥y軸于D,
∴CM∥DN,
∴△ACM∽△ADN,
∴ ,
∵CM=1,
∴DN=4,
當(dāng)x=4時,y=4k1+5,
∴N(4,4k1+5),
∴4(4k1+5)=k2①,
由(1)得:k2﹣k1=5,
∴k1=k2﹣5②,
把②代入①得:4(4k2﹣20+5)=k2,
k2=4;
∴反比例函數(shù)的解析式:y=
(3)
解:當(dāng)點P滑動時,點Q能在反比例函數(shù)的圖象上;
如圖2,
CP=PQ,∠CPQ=90°,
過Q作QH⊥x軸于H,
易得:△COP≌△PHQ,
∴CO=PH,OP=QH,
由(2)知:反比例函數(shù)的解析式:y= ;
當(dāng)x=1時,y=4,
∴M(1,4),
∴OC=PH=4,
設(shè)P(x,0),
∴Q(x+4,x),
當(dāng)點Q落在反比例函數(shù)的圖象上時,
x(x+4)=4,
x2+4x+4=8,
x=﹣2± ,
當(dāng)x=﹣2+2 時,x+4=2+2 ,如圖2,Q(2+2 ,﹣2+2 );
當(dāng)x=﹣2﹣2 時,x+4=2﹣2 ,如圖3,Q(2﹣2 ,﹣2﹣2 );
如圖4,CP=PQ,∠CPQ=90°,設(shè)P(x,0),
過P作GH∥y軸,過C作CG⊥GH,過Q作QH⊥GH,
易得:△CPG≌△PQH,
∴PG=QH=4,CG=PH=x,
∴Q(x﹣4,﹣x),
同理得:﹣x(x﹣4)=4,
解得:x1=x2=2,
∴Q(﹣2,﹣2),
綜上所述,點Q的坐標(biāo)為(2+2 ,﹣2+2 )或(2﹣2 ,﹣2﹣2 )或(﹣2,﹣2).
【解析】(1)根據(jù)點M的坐標(biāo)代入反比例關(guān)系:y= 中,可得結(jié)論;(2)根據(jù)△ACM∽△ADN,得 ,由CM=1得DN=4,同理得N的坐標(biāo),代入反比例函數(shù)式中可得k2的值;(3)如圖2,點P在x軸的正半軸上時,繞P順時針旋轉(zhuǎn)到點Q,根據(jù)△COP≌△PHQ,得CO=PH,OP=QH,設(shè)P(x,0),表示Q(x+4,x),代入反比例函數(shù)的關(guān)系式中可得Q的兩個坐標(biāo);
如圖3,點P在x軸的負(fù)半軸上時;
如圖4,點P在x軸的正半軸上時,繞P逆時針旋轉(zhuǎn)到點Q,同理可得結(jié)論.
【考點精析】關(guān)于本題考查的反比例函數(shù)的性質(zhì),需要了解性質(zhì):當(dāng)k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小; 當(dāng)k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能得出正確答案.
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【題目】已知線段 AB 的長為 10cm,C 是直線 AB 上一動點,M 是線段 AC的中點,N 是線段 BC 的中點.
(1)若點 C 恰好為線段 AB 上一點,求MN等于多少cm;
(2)猜想線段 MN 與線段 AB 長度的關(guān)系,并說明理由.
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【題目】已知拋物線:y=ax2+bx+c(a>0)經(jīng)過A(﹣1,1),B(2,4)兩點,頂點坐標(biāo)為(m,n),有下列結(jié)論: ①b<1;②c<2;③0<m< ;④n≤1.
則所有正確結(jié)論的序號是 .
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC是上半圓的弦,過點C作⊙O的切線DE交AB的延長線于點E,過點A作切線DE的垂線,垂足為D,且與⊙O交于點F,設(shè)∠DAC,∠CEA的度數(shù)分別是α,β.
(1)用含α的代數(shù)式表示β,并直接寫出α的取值范圍;
(2)連接OF與AC交于點O′,當(dāng)點O′是AC的中點時,求α,β的值.
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【題目】某中學(xué)舉行“校園好聲音”歌手大賽,初、高中部根據(jù)初賽成績,各選出名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學(xué)校決賽.每個隊名選手的決賽成績?nèi)鐖D所示:
填表:
平均數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | |
初中代表隊 | |||
高中代表隊 |
結(jié)合兩隊決賽成績的平均數(shù)和中位數(shù),分析哪個代表隊的成績較好;
計算兩隊決賽成績的方差,并判斷哪個代表隊的成績較為穩(wěn)定.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為,點P為對角線BD上一動點,點E在射線BC上,
(1)填空:BD=______;
(2)若BE=t,連結(jié)PE、PC,求PE+PC的最小值(用含t的代數(shù)式表示);
(3)若點E是直線AP與射線BC的交點,當(dāng)△PCE為等腰三角形時,求∠PEC的度數(shù).
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【題目】如圖1,把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起,使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合,點E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接AF.取AF中點M,EF的中點N,連接MD、MN.
(1)嘗試探究:
結(jié)論1:DM、MN的數(shù)量關(guān)系是;
結(jié)論2:DM、MN的位置關(guān)系是;
(2)猜想論證:證明你的結(jié)論.
(3)拓展:如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變,(1)中的兩個結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】珠海市某中學(xué)開展主題為“我愛閱讀”的專題調(diào)查活動,為了解學(xué)校1200名學(xué)生一年內(nèi)閱讀書籍量,隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計,繪制成如下尚未完成的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.請根據(jù)圖表,解答下面的問題:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
0≤x<5 | 4 | 0.08 |
5≤x<10 | 14 | 0.28 |
10≤x<15 | 16 | a |
15≤x<20 | b | c |
20≤x<25 | 10 | 0.2 |
合計 | d | 1.00 |
(1)a= ,b= c= .
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)根據(jù)該樣本,估計該校學(xué)生閱讀書籍?dāng)?shù)量在15本或15本以上的人數(shù).
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