Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）若該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝4時(shí)：

①求二次函數(shù)的表達(dá)式；

②當(dāng)點(diǎn)M位于x軸下方拋物線圖象上時(shí)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)Q，求線段MQ的最大值；

（2）過點(diǎn)M作BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為m、n．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，試問m+n的值是否會(huì)發(fā)生改變？若改變，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出m+n的值．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣8x+12；②線段MQ的最大值為9．（2）m+n的值為定值．m+n＝6．

【解析】

（1）①根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)和二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸即可求出二次函數(shù)解析式；

②設(shè)M（m，m2﹣8m+12），利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，從而求出Q（m，﹣2m+12），即可求出MQ的長(zhǎng)與m的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；

（2）將B（6，0）代入二次函數(shù)解析式中，求出二次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)設(shè)出直線MN的解析式，然后聯(lián)立方程結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論．

（1）①由題意，

解得，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣8x+12．

②如圖1中，設(shè)M（m，m2﹣8m+12），

∵B（6，0），C（0，12），

∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+12，

∵MQ⊥x軸，

∴Q（m，﹣2m+12），

∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3時(shí)，QM有最大值，最大值為9．

（2）結(jié)論：m+n的值為定值．

理由：如圖2中，

將B（6，0）代入二次函數(shù)解析式中，得

解得：

∴二次函數(shù)解析式為

∴C（0，﹣36﹣6b），

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣36﹣6b，

把（6，0）代入得到：k＝6+b，

∴直線BC的解析式為y＝（6+b）x﹣36﹣6b，

∵MN∥CB，

∴可以假設(shè)直線MN的解析式為y＝（6+b）x+b′，

由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0，

∴x1+x2＝6，

∵點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為m、n，

∴m+n＝6．

∴m+n為定值，m+n＝6．