Question

【題目】如圖，在△ABC中，射線AM平分∠BAC．

（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）作BC的中垂線，與AM相交于點G，連接BG、CG；

（2）在（1）條件下，∠BAC和∠BGC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠BAC+∠BGC＝180°，證明詳見解析．

【解析】

（1）作線段BC的垂直平分線即可；

（2）在AB上截取AD＝AC，連接DG．首先證明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG＝180°，利用四邊形內(nèi)角和定理即可解決問題．

解：（1）線段BC的中垂線EG如圖所示：

（2）結(jié)論：∠BAC+∠BGC＝180°．

理由：在AB上截取AD＝AC，連接DG．

∵AM平分∠BAC，

∴∠DAG＝∠CAG，

在△DAG和△CAG中

∵

∴△DAG≌△CAG（SAS），

∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，

∵G在BC的垂直平分線上，

∴BG＝CG，

∴BG＝DG，

∴∠ABG＝∠BDG，

∵∠BDG+∠ADG＝180°，

∴∠ABG+∠ACG＝180°，

∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，

∴∠BAC+∠BGC＝180°．