Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=12cm，點P從A出發(fā)沿AC向C點以1cm/s的速度勻速移動；點Q從C出發(fā)沿CB向B點以$\sqrt{3}$cm/s的速度勻速移動，點P、Q分別從起點同時出發(fā)，移動到某一位置時所需時間為t秒；點O為AB的中點．
（1）當t=2時，求線段PQ的長度；
（2）連接OC，當PQ⊥OC時，求出t的值；
（3）連結(jié)PO，PQ，是否存在t的值，使△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用運動時間是2秒，求出PC，CQ再用勾股定理求解即可；
（2）由直角三角形的性質(zhì)，判斷出∠ACO=60°，結(jié)合PQ⊥OC得出∠CPQ=30°，利用三角函數(shù)求解即可；
（3）利用直角三角形的性質(zhì)和中位線，得出∠PON=∠MOQ，再用等角的正切值相等建立方程，分兩種情況討論計算即可．

解答 解：∵點P從A出發(fā)沿AC向C點以1cm/s的速度勻速移動，
∴AP=t，
∴CP=6-t，
∵點Q從C出發(fā)沿CB向B點以$\sqrt{3}$cm/s的速度勻速移動，
∴CQ=$\sqrt{3}$t，
（1）當t=2時，PC=4，CQ=2$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°，
根據(jù)勾股定理得，PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=12cm，
∴∠B=30°，∠A=60°，BC=6$\sqrt{3}$，
∵點O為AB中點，
∴OA=OC，
∴∠ACO=60°，
設(shè)OC和PQ的交點為D，
∴PQ⊥OC，
∴∠PDC=90°，
∴∠CPQ=30°，
在Rt△PCQ中，tan∠CPQ=$\frac{CQ}{CP}$=$\frac{\sqrt{3}t}{6-t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，
（3）存在，如圖

過點O作ON⊥AC，OM⊥BC，
∵點O是AB中點，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC=3，CM=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，ON=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}$AC=3，∠MON=90°，
∵△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形，
∴∠PON=∠MOQ，
∴tan∠PON=tan∠MOQ，
∵tan∠PON=$\frac{PN}{ON}$，tan∠MOQ=$\frac{MQ}{OM}$，
∴$\frac{PN}{ON}=\frac{MQ}{OM}$
①當t≥3時，PN=AN-AP=3-t，MQ=CM-CQ=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴$\frac{3-t}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{3}$
∴t=3，
②當3＜t＜6時，
PN=AP-AN=t-3，MQ=CQ-CM=$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{t-3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}t-3\sqrt{3}}{3}$，
∴t=3（舍），此種情況不存在；
即：存在，t=3時，△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是利用等角的同名三角函數(shù)相等建立方程求解時間t，難點是輔助線的作法．