Question

如圖①，直角坐標系中，等腰梯形OABC，AB∥OC，OA=BC，OC在x軸上，OC=7，點A的坐標為（1，3）．拋物線y=ax²+bx+c經過O、A、C三點．

（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式并判定點B是否在拋物線上；
（2）如圖②，若拋物線y=ax²+bx+c的頂點為M，在該拋物線上點M和點C之間的曲線上確定點P，使S_△CMP=S_△OAM，求點P的坐標；
（3）若直線y=mx+n將等腰梯形OABC的周長和面積同時分成相等的兩部分，請你確定y=mx+n中m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出C的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）過C作x軸的垂線，作ME⊥x軸，交直線CH于點H，作AN⊥y軸與N．PG⊥CH于點G．設出P的坐標，根據四邊形MENA的面積+△AON的面積=四邊形MHGP的面積+△PGC的面積．即可求得P的坐標；
（3）根據直線y=mx+n將等腰梯形OABC的面積分成相等的兩部分，分得的兩部分可能是兩個梯形，或兩個三角形，再根據將等腰梯形OABC的周長平分，即可得到關于m的式子從而求解．
解答：解：（1）∵OC=7，
則C的坐標是（7，0），
設拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
根據題意得：，
解得：，
則拋物線的解析式是：y=-x²+x；
∵OC=7，點A的坐標為（1，3），等腰梯形OABC，AB∥OC，OA=BC，
∴點B的坐標為（6，3），
當x=6時，y=-×36+×6=3，
∴點B在拋物線上；

（2）過C作x軸的垂線，作ME⊥x軸，交直線CH于點H，作AN⊥y軸與N．PG⊥CH于點G．

拋物線的頂點M的坐標是（，）
設S_△CMP=S_△OAM，則四邊形MENA的面積+△AON的面積=四邊形MHGP的面積+△PGC的面積．設P的橫坐標是m，則縱坐標是：-m²+m．
四邊形MENA的面積=（1+）（-3）=，△AON的面積=×1×3=；
同理：四邊形MHGP的面積=（7-m+）[-（-m²+m）]，△PGC的面積等于：（7-m）×（-m²+m）
則：（7-m+）[-（-m²+m）]+（7-m）×（-m²+m）=+
解得：m=6或
則P的坐標是：P₁（6，3）P₂（，）；

（3）m≥或m≤-．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．