Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，B（5，0），M為梯形OBCD底邊OB上的一點(diǎn)，OM＜3，OD=BC=2，∠DMC=∠DOM=60°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）∠DMC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（α為銳角）后，得到∠D₁MC₁，射線M D₁交直線DC于點(diǎn)E，射線MC₁交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)DE=m，BF=n，求m與n的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DA⊥OB，垂足為A．利用三角函數(shù)可求得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

3

），進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先證明△ODM∽△BMC．得

OD

BM

=

OM

BC

=

DM

MC

，所以O(shè)D•BC=BM•OM．設(shè)OM=x，則BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）（Ⅰ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，如圖2，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以

DE

CF

=

DM

CM

=

OD

BM

=

2

4

=

1

2

，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-

n

2

．（Ⅱ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，OM=4，由OM＜3，得出不合題意，舍去．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DA⊥OB，垂足為A．CN⊥OB，如圖1，
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=

3

，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

3

），
∴AO=1，BN=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，

3

）；

（2）∵∠CBM+∠CMB+∠MCB=180°，
∠DMC+∠MDC+∠DCM=180°，
∠DOB=∠CBM=∠DMC=60°，
∴∠CMB+∠MCB=∠MDC+∠DCM，
∵∠OMD+∠DMC+∠BMC=180°，∠CDM=∠DMO，∠CMB=∠DCM，
∴∠MDC=∠DMO=∠MCB，
∴△ODM∽△BMC，
∴

OD

BM

=

OM

BC

=

DM

MC

，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B點(diǎn)為（5，0），
∴OB=5．
設(shè)OM=x，則BM=5-x，
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∵OM＜3，
∴OM=4舍去，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；

（3）（Ⅰ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，如圖2，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴

DE

CF

=

DM

CM

=

OD

BM

=

2

4

=

1

2

，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-

n

2

；
（Ⅱ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，如圖3，
∵OM＜3，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，不合題意，舍去．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用，其涉及的知識(shí)點(diǎn)比較多．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義結(jié)合梯形的性質(zhì)利用相似比中的成比例線段作為相等關(guān)系求線段之間的等量關(guān)系．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會(huì)．