Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求A，B，C，D的坐標(biāo)；
（2）判斷以點(diǎn)A，C，D為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并說明理由；
（3）點(diǎn)M（ m，0）（﹣3＜m＜﹣1）為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N，得矩形PQNM，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，m的值是多少？并直接寫出此時(shí)△AEM的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由拋物線y+﹣x2﹣2x+3可得，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，即C（0，3）．

當(dāng)y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得，x=﹣3或x=l，令x=0，得y=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

把y=﹣x2﹣2x+3化為頂點(diǎn)式為y=﹣（x+1）2+4，

∴D（﹣1，4）

（2）

解：結(jié)論：△ACD是直角三角形，理由如下，

連接CD、AD，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CF⊥DH于點(diǎn)F，則F（﹣1，3）．

由A（﹣3，0），C（0，3）得直線AC的解析式為y=x+3，

把x=﹣1代入y=x+3得，y=2，即H（﹣1，2），

∴DF=4﹣3=1，F(xiàn)H=3﹣2=1，

∴DF=FH=CF=1，

∴∠HCD=90°，

∴△ACD是直角三角形

（3）

解：由D（﹣1，4）可知，對(duì)稱軸為x=﹣1，

∵M(jìn)（m，0），∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長(zhǎng)=2（PM+MN）

=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2

=﹣2m2﹣8m+2，

∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴m=﹣2時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，

∵A（﹣3，0），C（0，3），設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，

則 解得： ，

∴解析式y(tǒng)=x+3，當(dāng)x=﹣2時(shí)，則E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S= AMEM= ．

【解析】（1）通過解析式即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐標(biāo)．（2）結(jié)論：△ACD是直角三角形．連接CD、AD，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CF⊥DH于點(diǎn)F，只要證明DF=FH=CF即可解決問題．（3）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長(zhǎng)d=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長(zhǎng)，從而求得三角形的面積．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．