Question

如圖（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線(xiàn)段BG和AE的關(guān)系（位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系），請(qǐng)直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論：

（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一角度a后（0°＜a＜90°），如圖（2），通過(guò)觀(guān)察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：

（3）若BC=DE=m，正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角度a（0°＜a＜360°）過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求AF的值．

Answer 1

       解：（1）如圖（1），

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD=AD，

∵在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，

延長(zhǎng)EA到BG于一點(diǎn)M，

∴∠GAM=∠DAE，

∴∠GMA=∠EDA=90°，

∴線(xiàn)段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，

如圖（2），延長(zhǎng)EA分別交DG、BG于點(diǎn)M′、N′兩點(diǎn)，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴∠ADB=90°，且BD=AD，

∵∠BDG=∠ADB﹣∠ADG=90°﹣∠ADG=∠ADE，

∵在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，

∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，

∴∠MNG+∠DGM=90°，

即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線(xiàn)上時(shí)，AE最大；

∵正方形DEFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑的圓，

∴當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上（即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)270°）時(shí)，BG最大，如圖（3），

若BC=DE=m，則AD=，EF=m，

在Rt△AEF中，AF²=AE²+EF²=（AD+DE）²+EF²=m²，

∴AF=m，即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF=m．