Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，點(diǎn)D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上時(shí)（不與點(diǎn)O、C重合），則線段CF與OD之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；位置關(guān)系為

 

，
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)舉一反例；
（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），當(dāng)D點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，用含t的代數(shù)式表示E點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出E點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）比較兩個(gè)線段的大小，首先要表示出兩條線段．連接CF，發(fā)現(xiàn)△ODA與△CFA非常相近，進(jìn)而考慮是否全等．通過(guò)同角的余角相等可得∠OAD=∠CAF，由正方形性質(zhì)可得AD=AF，再由已知OA=OC易證，即得兩三角形全等，而OD=CF．位置關(guān)系由圖易猜想為垂直，即考慮∠FCO是否等于90°．∠FCO=∠FCA+∠ACO，由△ODA≌△CFA，所以∠FCA=∠DOA，即∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠DOA+∠ACO（Rt△OAC的兩個(gè)銳角的和），故∠FCO=90°，猜想成立．
（2）分析本問(wèn)，首先要表示出該情形．在備用圖中x軸上C的右方任取一點(diǎn)，按題目要求構(gòu)造正方形ADEF，連接CF，觀察發(fā)現(xiàn)（1）的結(jié)論好像在這種情形下依然成立．利用（1）的方法證明，結(jié)論易得．
（3）求某點(diǎn)坐標(biāo)首先要做關(guān)于x軸、y軸的平行線將其橫縱坐標(biāo)表示出來(lái)，如圖發(fā)現(xiàn)情況分為t＜1，t=1，t＞1三種．分別討論利用全等三角形代換所求邊長(zhǎng)易得結(jié)論．注意邊長(zhǎng)都是正數(shù)，而若點(diǎn)出現(xiàn)在三四象限，縱坐標(biāo)的值要為邊長(zhǎng)的相反數(shù)．后半問(wèn)的經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)首先要清楚點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑．根據(jù)上半問(wèn)的坐標(biāo)可以分析出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，再利用所求知識(shí)求得．

解答：解：（1）相等； 垂直．

（2）（1）中結(jié)論依然成立，即OD=CF，OD⊥CF

在x軸C點(diǎn)右方任取一點(diǎn)D，連接AD，并以AD為一邊如圖建立正方形ADEF，連接CF．
∵∠OAC=90°，∠DAF=90°
∴∠OAC=∠DAF
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF
在△OAD和△CAF中，

OA=CA ∠OAD=∠CAF AD=AF

，
∴△OAD≌△CAF（SAS）
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC
在Rt△OAC中
∵∠OCA+∠AOC=90°
∴∠OCF=90°
∴OD⊥CF

（3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H

∵OA=CA
∴OG=CG
∵A的坐標(biāo)為（1，1）
∴OG=1，AG=1，OC=2
當(dāng)D在線段OG上，如左圖，此時(shí)t＜1，則DG=1-t
在Rt△ADG中
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠HDE=90°
∴∠DAG=∠HDE
在△ADG和△DEH中，

∠DAG=∠EDH ∠AGD=∠DHE AD=DE

，
∴△ADG≌△DEH（AAS）
∴HE=DG=1-t，DH=AG=1
∴OH=OD+DH=t+1
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，-（1-t）），即（t+1，t-1）
當(dāng)D與G點(diǎn)重合，E點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．由此時(shí)t=1，所以E點(diǎn)坐標(biāo)也為（t+1，t-1）
當(dāng)D在線段GC上，如右圖，此時(shí)t＞1，則DG=t-1
∵∠ADE=90°
∴∠ADG+∠HDE=90°
在Rt△ADG中
∵∠DAG+∠ADG=90°
∴∠DAG=∠HDE
在△ADG和△DEH中，

∠DAG=∠EDH ∠AGD=∠DHE AD=DE

，
∴△ADG≌△DEH（AAS）
∴HE=DG=t-1，DH=AG=1
∴OH=OD+DH=t+1
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，t-1）
綜上所述，E點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，t-1），0≤t≤2
由（t+1，t-1）在y=x-2上，則E點(diǎn)由（1，-1）直線運(yùn)動(dòng)到（3，1），作關(guān)于x軸、y軸的平行線，利用勾股定理易得，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題的難度不是很高，學(xué)生只要清晰概念很容易得到前兩問(wèn)的結(jié)論．但第三問(wèn)中注意邊長(zhǎng)都是正數(shù)，而若點(diǎn)出現(xiàn)在三四象限，縱坐標(biāo)的值要為邊長(zhǎng)的相反數(shù)，這里是易錯(cuò)點(diǎn)．另外后半問(wèn)的求經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)首先要清楚的是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑．這要根據(jù)上半問(wèn)的坐標(biāo)分析得出，方法既橫坐標(biāo)如何變換（不含字母）得到縱坐標(biāo)，以確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，此類考點(diǎn)不常出現(xiàn)，須特殊留意．最后在坐標(biāo)系中求點(diǎn)到點(diǎn)的距離一般都是分別作x軸、y軸的平行線構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理求得，這類常規(guī)題也許多加練習(xí)．