Question

如圖，在△ABC中，BD⊥AC，BD=AC，以BC為底邊作等腰直角△BEC，連接AE并延長交BD于F點，下列結(jié)論：①△AEC≌△DEB；②AE⊥DE；③DE=DC；④S_△AEB=S_△CDE．其中正確的有（　�。﹤�．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：①易證∠DBE=∠ACE，即可求證：△AEC≌△DEB；
②根據(jù)①結(jié)論可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解題；
③不能求證；
④根據(jù)②結(jié)論和AE=DE，即可求得E是AF中點，即可求得S_△AEB=S_△BFE，再證△BFE≌△CDE即可解題．

解答：解：

①∵∠DGC=∠CBG+∠GCB=∠CBG+45°，∠DGC+∠ACE=90°，
∴∠CBG+∠ACE=45°，
∵∠CBG+∠DBE=45°，
∴∠DBE=∠ACE，
∵在△AEC和△DEB中，

BE=CE ∠DBE=∠ACE BD=AC

，
∴△AEC≌△DEB，（SAS）；
故①正確；
②∵△AEC≌△DEB，
∴∠AEC=∠DEB，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∠DEB=∠BEC+∠CED，
∴∠AED=∠BEC=90°，
∴AE⊥DE；
故②正確；
③不能求證；
④∵AE=DE，AE⊥DE，
∴E為RT△ADF斜邊AF上中點，∠DAF=∠DFE=ADE=45°．
∴AE=EF=DE，AD=DF，
∴S_△AEB=S_△BFE，
∵AC=BD，
∴BF=CD，
∵在△BFE和△CDE中，

BF=CD ∠BFE=∠CDE=135° EF=DE

，
∴△BFE≌△CDE，（SAS），
∴S_△CDE=S_△BFE，；
∴S_△AEB=S_△CDE，
故④正確；
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BFE≌△CDE是解題的關鍵．