【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,D是AC中點,直線OD與⊙O相交于E,F兩點,P是⊙O外一點,P在直線OD上,連接PA,PC,AF,且滿足∠PCA=∠ABC.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)證明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)DE=.
【解析】
(1)先判斷出PA=PC,得出∠PAC=∠PCA,再判斷出∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,再判斷出∠PCA+∠CAB=90°,得出∠CAB+∠PAC=90°,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出Rt△AOD∽Rt△POA,得出OA2=OPOD,進而得出
,,即可得出結(jié)論;
(3)在Rt△ADF中,設(shè)AD=a,得出DF=3a.,AO=OF=3a-4,最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2,即可得出結(jié)論.
(1)證明∵D是弦AC中點,∴OD⊥AC,∴PD是AC的中垂線,∴PA=PC,∴∠PAC=∠PCA.
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.
又∵∠PCA=∠ABC,∴∠PCA+∠CAB=90°,∴∠CAB+∠PAC=90°,即AB⊥PA,∴PA是⊙O的切線;
(2)證明:由(1)知∠ODA=∠OAP=90°,
∴Rt△AOD∽Rt△POA,∴,∴.
又,∴,即.
(3)解:在Rt△ADF中,設(shè)AD=a,則DF=3a.,AO=OF=3a-4.
∵,即,解得,∴DE=OE-OD=3a-8=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ACB=30°,將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC,BD的交點處,以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板,并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB,BC所在的直線相交,交點分別為E,F.
(1)當PE⊥AB,PF⊥BC時,如圖1,則的值為 ;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)(0°<<60°)角,如圖2,求的值;
(3)若與(2)相比只有如下變化,點P在線段AC上,且AP:PC=1:2,旋轉(zhuǎn)角度,滿足60°<<90°時,即如圖3示,的值是否變化?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】最近,受氣溫變暖趨勢及頻繁的大風影響,全球正在進人新一輪的森林火災(zāi)高發(fā)期,3月30日西昌瀘山森林突發(fā)火災(zāi),火勢迅速向四周蔓延.直接威脅馬道街道辦事處和西昌城區(qū)安全有關(guān)部門緊急部署,疏散附近居民.并且組織了一批救災(zāi)帳篷和食品以備居民使用.已知帳篷和食品共680件,且?guī)づ癖仁称范?/span>200件.
(1)求帳篷和食品各多少件.
(2)現(xiàn)計劃租用A,B兩種貨車共16輛,一次性將物資送往災(zāi)區(qū),已知A種貨車可裝帳篷40件和食品10件,B種貨車可裝帳篷20件和食品20件,請設(shè)計一下,共有幾種租車方案?
(3)在(2)的條件下,A種貨車每輛需運費800元,B種貨車每輛需運費720元,怎樣租車才能使總運費最少?最少運費是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反比例函數(shù)的圖象上,邊CD在x軸上,點B在y軸上.已知.
(1)點A是否在該反比例函數(shù)的圖象上?請說明理由.
(2)若該反比例函數(shù)圖象與DE交于點Q,求點Q的橫坐標.
(3)平移正六邊形ABCDEF,使其一邊的兩個端點恰好都落在該反比例函數(shù)的圖象上,試描述平移過程.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標系中,四邊形OACB為菱形,OB在x軸的正半軸上,∠AOB=60°,過點A的反比例函數(shù)y= 的圖像與BC交于點F,則△AOF的面積為 ______________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC為等邊三角形,點O為AB邊上一點,且BO=2AO=4,將△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△DEF,則圖中陰影部分的面積為______.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形,BC為⊙O的直徑,在線段OC上取點D(不與端點重合),作DG⊥BC,分別交AC、圓周于E、F,連接AG,已知AG=EG.
(1)求證:AG為⊙O的切線;
(2)已知AG=2,填空:
①當四邊形ABOF是菱形時,∠AEG= °;
②若OC=2DC,△AGE為等腰直角三角形,則AB= .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在邊長為10的菱形ABCD中,cos∠B=,點E為BC邊上的中點,點F為邊AB邊上一點,連接EF,過點B作EF的對稱點B′,
(1)在圖(1)中,用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B′(不寫作法,保留痕跡);
(2)當△EFB′為等腰三角形時,求折痕EF的長度.
(3)當B′落在AD邊的中垂線上時,求BF的長度.
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