【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0),B(0,4),C(6,6).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)證明:四邊形AOBC的兩條對(duì)角線互相垂直;
(3)在四邊形AOBC的內(nèi)部能否截出面積最大的DEFG?(頂點(diǎn)D,E,F,G分別在線段AO,OB,BC,CA上,且不與四邊形AOBC的頂點(diǎn)重合)若能,求出DEFG的最大面積,并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)、y=x2﹣x+4;(2)、證明過(guò)程見(jiàn)解析;(3)、最大值為12,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)
【解析】試題分析:(1)、根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0),B(0,4),C(6,6),利用待定系數(shù)法,求出拋物線的表達(dá)式即可;(2)、利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出OA=4,OB=4,CB=2,CA=2,則OA=OB,CA=CB,根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理得到OC垂直平分AB,所以四邊形AOBC的兩條對(duì)角線互相垂直;(3)、如圖2,利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出AB=4,OC=6,設(shè)D(t,0),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)四邊形DEFG為平行四邊形得到EF∥DG,EF=DG,再由OC垂直平分AB得到△OBC與△OAC關(guān)于OC對(duì)稱,則可判斷EF和DG為對(duì)應(yīng)線段,所以四邊形DEFG為矩形,DG∥OC,則DE∥AB,于是可判斷△ODE∽△OAB,利用相似比得DE=t,接著證明△ADG∽△AOC,利用相似比得DG=(4﹣t),所以矩形DEFG的面積=DEDG=t(4﹣t)=﹣3t2+12t,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求平行四邊形DEFG的面積的最大值,從而得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)、設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c, 根據(jù)題意得,解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣x+4;
(2)、如圖1,連結(jié)AB、OC, ∵A(4,0),B(0,4),C(6,6),
∴OA=4,OB=4,CB=2,CA=2,
∴OA=OB,CA=CB, ∴OC垂直平分AB, 即四邊形AOBC的兩條對(duì)角線互相垂直;
(3)、能. 如圖2,AB=4,OC=6,設(shè)D(t
∵四邊形DEFG為平行四邊形, ∴EF∥DG,EF=DG, ∵OC垂直平分AB,
∴△OBC與△OAC關(guān)于OC對(duì)稱, ∴EF和DG為對(duì)應(yīng)線段, ∴四邊形DEFG為矩形,DG∥OC,
∴DE∥AB,∴△ODE∽△OAB,∴=,即=,解得DE=t, ∵DG∥OC,
∴△ADG∽△AOC,∴=,即=,解得DG=(4﹣t),
∴矩形DEFG的面積=DEDG=t(4﹣t)=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12,
當(dāng)t=2時(shí),平行四邊形DEFG的面積最大,最大值為12,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市團(tuán)委舉辦“我的中國(guó)夢(mèng)”為主題的知識(shí)競(jìng)賽,甲、乙兩所學(xué)校參賽人數(shù)相等,比賽結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)學(xué)生成績(jī)分別為70分,80分,90分,100分,并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表: 乙校成績(jī)統(tǒng)計(jì)表
分?jǐn)?shù)(分) | 人數(shù)(人) |
70 | 7 |
80 | |
90 | 1 |
100 | 8 |
(1)在圖①中,“80分”所在扇形的圓心角度數(shù)為;
(2)請(qǐng)你將圖②補(bǔ)充完整;
(3)求乙校成績(jī)的平均分;
(4)經(jīng)計(jì)算知S甲2=135,S乙2=175,請(qǐng)你根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù),對(duì)甲、乙兩校成績(jī)作出合理評(píng)價(jià).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某自治州自然風(fēng)景優(yōu)美,每天吸引大量游客前來(lái)游覽,經(jīng)統(tǒng)計(jì),某段時(shí)間內(nèi)來(lái)該州風(fēng)景區(qū)游覽的人數(shù)約為36000人,用科學(xué)記數(shù)法表示36000為( )
A.36×103
B.0.36×106
C.0.36×104
D.3.6×104
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】初三年(4)班要舉行一場(chǎng)畢業(yè)聯(lián)歡會(huì),主持人同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)下圖中的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,由一名同學(xué)在轉(zhuǎn)動(dòng)前來(lái)判斷兩個(gè)轉(zhuǎn)盤上指針?biāo)傅膬蓚(gè)數(shù)字之和是奇數(shù)還是偶數(shù),如果判斷錯(cuò)誤,他就要為大家表演一個(gè)節(jié)目;如果判斷正確,他可以指派別人替自己表演節(jié)目.現(xiàn)在輪到小明來(lái)選擇,小明不想自己表演,于是他選擇了偶數(shù).小明的選擇合理嗎?從概率的角度進(jìn)行分析(要求用樹(shù)狀圖或列表方法求解)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ACB中,∠A=30°,過(guò)點(diǎn)B、C的⊙O交AB于D,交AC于E,點(diǎn)F在AE上,連接DE、DC、BE和DF,已知BC=EC,AD=AF.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=4時(shí),求弦CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們知道a+b=0時(shí),a3+b3=0也成立,若將a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我們能否得出這樣的結(jié)論:若兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù),則這兩個(gè)數(shù)也互為相反數(shù).
(1)試舉一個(gè)例子來(lái)判斷上述猜測(cè)結(jié)論是否成立;
(2)若與互為相反數(shù),求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2016·江西吉安模擬)如圖,是一個(gè)正六邊形轉(zhuǎn)盤被分成6個(gè)全等的正三角形,指針位置固定.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止,其中的某個(gè)三角形會(huì)恰好停在指針?biāo)傅奈恢?/span>,并相應(yīng)得到一個(gè)數(shù)(指針指向兩個(gè)三角形的公共邊時(shí),當(dāng)作指向右邊的三角形),這時(shí)稱轉(zhuǎn)動(dòng)了轉(zhuǎn)盤1次.
(1)下列說(shuō)法不正確的是 .
A.出現(xiàn)1的概率等于出現(xiàn)3的概率
B.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤30次,6一定會(huì)出現(xiàn)5次
C.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤3次,出現(xiàn)的3個(gè)數(shù)之和等于19,這是一個(gè)不可能發(fā)生的事件
(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤36次時(shí),出現(xiàn)2這個(gè)數(shù)大約有多少次?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列幾何圖形中,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A.等腰三角形B.等邊三角形C.菱形D.正五邊形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法:①相等的角是對(duì)頂角;②平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直;③ 平行于同一條直線的兩條直線互相平行; ④同角或等角的余角相等,其中正確的說(shuō)法有( )
A.4 個(gè)B.3 個(gè)C.2 個(gè)D.1 個(gè)
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