Question

14．某商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共200件，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表，

商品名稱	甲	乙
進(jìn)價(jià)（元/件）	80	100
售價(jià)（元/件）	160	240

設(shè)其中甲種商品購(gòu)進(jìn)x件，該商場(chǎng)售完這200件商品的總利潤(rùn)為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商品計(jì)劃最多投入18000元用于購(gòu)買這兩種商品，則至少要購(gòu)進(jìn)多少件甲商品？若售完這些商品，則商場(chǎng)可獲得的最大利潤(rùn)是多少元？
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，生產(chǎn)廠家對(duì)甲種商品的出廠價(jià)下調(diào)a元（50＜a＜70）出售，且限定商場(chǎng)最多購(gòu)進(jìn)120件，若商場(chǎng)保持同種商品的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中的條件，設(shè)計(jì)出使該商場(chǎng)獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)總利潤(rùn)=（甲的售價(jià)-甲的進(jìn)價(jià)）×購(gòu)進(jìn)甲的數(shù)量+（乙的售價(jià)-乙的進(jìn)價(jià)）×購(gòu)進(jìn)乙的數(shù)量代入列關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；
（2）根據(jù)總成本≤18000列不等式即可求出x的取值，再根據(jù)函數(shù)的增減性確定其最值問題；
（3）把50＜a＜70分三種情況討論：一次項(xiàng)x的系數(shù)大于0、等于0、小于0，根據(jù)函數(shù)的增減性得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：y=（160-80）x+（240-100）（200-x），
=-60x+28000，
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=-60x+28000；
（2）80x+100（200-x）≤18000，
解得：x≥100，
∴至少要購(gòu)進(jìn)100件甲商品，
y=-60x+28000，
∵-60＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=100時(shí)，y有最大值，
y_大=-60×100+28000=22000，
∴若售完這些商品，則商場(chǎng)可獲得的最大利潤(rùn)是22000元；
（3）y=（160-80+a）x+（240-100）（200-x）   （100≤x≤120），
y=（a-60）x+28000，
①當(dāng)50＜a＜60時(shí)，a-60＜0，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=100時(shí)，y有最大利潤(rùn)，
即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲商品100件，乙商品100件，獲利最大，
②當(dāng)a=60時(shí)，a-60=0，y=28000，
即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲商品的數(shù)量滿足100≤x≤120的整數(shù)件時(shí)，獲利最大，
③當(dāng)60＜a＜70時(shí)，a-60＞0，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=120時(shí)，y有最大利潤(rùn)，
即商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲商品120件，乙商品80件，獲利最大．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)和一元一次不等式的綜合應(yīng)用，屬于銷售利潤(rùn)問題，在此類題中，要明確售價(jià)、進(jìn)價(jià)、利潤(rùn)的關(guān)系式：?jiǎn)渭�利�?rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×數(shù)量，商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)/商品進(jìn)價(jià)×100%；認(rèn)真讀題，弄清題中的每一個(gè)條件；對(duì)于最值問題，可利用一次函數(shù)的增減性來解決：形如y=kx+b中，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小．