Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊△ABC沿過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)折疊，該直線(xiàn)與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)N，使點(diǎn)A落在直線(xiàn)BC上的點(diǎn)D處，且BD：DC=1：4，折痕為MN，則AN的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】7或

【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)A落在如圖1所示的位置時(shí)，

∵△ACB是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，

∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，

∴∠BMD=∠NDC，

∴△BMD∽△CDN．

∴得，

∵DN=AN，

∴得，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB=2，CD=8，

設(shè)AN=x，則CN=10﹣x，

∴ ，

∴DM=，BM=，

∵BM+DM=30，

∴+=10，

解得x=7，

∴AN=7；

②當(dāng)A在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，

與①同理可得△BMD∽△CDN．

∴得，

∵BD：DC=1：4，BC=10，

∴DB=，CD=，

設(shè)AN=x，則CN=x﹣10，

∴ ，

∴DM=，BM=，

∵BM+DM=10，

∴+=10，

解得： x=，

∴AN=．

故答案為：7或．