Question

19．（1）如圖1，OP是∠MON的平分線，請利用該圖形畫一組以OP所在直線為對稱軸且一條邊在OP上的全等三角形，并用符號表示出來；
（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
①如圖2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關系；
②如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）本題是用尺規(guī)作圖作出兩個全等的三角形：在OM、ON上截取相同長度的線段，在OP上任取一點A，構造全等三角形即可；
（2）如圖2，截取CE=CA，連接DE，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACD=∠ECD，推出△CAD≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B=30°，即可得到結論；
（3）截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，同理△ADC≌△AEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AD=9，CD=CE=10=CB，由CH⊥AB，CE=CB，得到EH=HB設EH=HB=x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，作圖過程：以O為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點，在射線OP上任取一點A（O點除外），連接AB，AC，
可得△AOB≌△AOC，
∵OB=OC，OA是公共邊，OP是角平分線∠AOB=∠AOC，
∴全等的依據(jù)是SAS；

（2）如圖2，截取CE=CA，連接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD與△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；

（3）截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，
同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
設EH=HB=x，
在Rt△ACH和Rt△CEH中
17²-（9+x）²=10²-x²，
解得：x=6，
∴AB=21．

點評 本題考查的是尺規(guī)作圖，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．