【題目】如圖1,已知菱形的邊長為6,, 點、分別是邊、上的動點(不與端點重合),且.
(1)求證: 是等邊三角形;
(2)點、在運動過程中,四邊形的面積是否變化,如果變化,請說明理由;如果不變,請求出面積;
(3)當(dāng)點在什么位置時,的面積最大,并求出此時面積的最大值;
(4)如圖2,連接分別與邊、交于、,當(dāng)時,求證:.
【答案】(1)見解析;(2)四邊形AECF的面積不變.四邊形AECF的面積為;(3)E是BC的中點時△ECF的面積最大,最大面積為;(4)見解析
【解析】
(1)利用證明△ACE和△ADF全等得AE=AF,結(jié)合∠EAF=60°,便得△EAF是等邊三角形;
(2)根據(jù)△ACE≌△ADF,得四邊形AECF的面積等于△ACD的面積等于菱形ABCD面積的一半;
(3)要使三角形ECF的面積最大,只要等邊三角形AEF的面積最小即AE⊥BC時即可;
(4)將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABP,連接PM.證明MN=PM,∠BPM=90°即可解決問題.
(1)證明:在菱形ABCD中,
∵∠B=60°,
∴△ABC、△ACD是等邊三角形,
∴AB=BC=AC,∠CAD=60°,
∴AC=AD,
∵∠EAF=60°,
∴∠CAE=∠DAF,
∵∠ACE=∠D=60°,
∴△ACE≌△ADF,
∴AE=AF,
∴△EAF是等邊三角形;
(2)四邊形AECF的面積不變.
過點A作AG⊥BC于點G.
在Rt△ABG中,∠B=60°,
∴BG=AB=3,
∴AG==,
∴S△ABC=S△ACD==.
由(1)知△ACE≌△ADF,
∴S△ACE=S△ADF,
∴S四邊形AECF=S△ACE+S△ACF= S△ADF+S△ACF=S△ACD=;
(3)∵S四邊形AECF=S△AEF+S△ECF =,
∴S△AEF最小時S△ECF最大,
∵△AEF是等邊三角形,
∴當(dāng)AE⊥BC時S△AEF最小,
此時E是BC的中點,AE=,等邊△AEF的EF邊上的高為=,
∴S△AEF==,
∴S△ECF= S四邊形AECF - S△AEF ==;
(4)將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABP,連接PM.
∵∠DAE=15°,∠EAF=60°,∠BAD=120°,
∴∠BAE=45°,∠BAP=∠DAF=15°,
∴∠MAN=∠MAP=60°,
∵AM=AM,AN=AP,
∴△MAN≌△MAP(SAS),
∴MN=PM,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠ADN=∠ADC=30°,
∴∠AND=180°-15°-30°=135°,∠ANM=45°,
∴∠APB=∠AND=135°,∠APM=∠ANM=45°,
∴∠BPM=90°,
∴BP2+PM2=BM2,
∵BP=DN,PM=MN,
∴DN2+MN2=BM2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,厘米,厘米,點為的中點.
(1)如果點在線段上以厘米秒的速度由向點運動,同時點在線段上由點向點運動.
①若點的運動速度與點的運動速度相等,秒鐘時,與是否全等?請說明理由;
②點的運動速度與點的運動速度不相等,當(dāng)點的運動速度為多少時,能夠使?并說明理由;
(2)若點以②中的運動速度從點出發(fā),點以原來運動速度從點同時出發(fā),都逆時針沿的三邊運動,求多長時間點與點第一次在的哪條邊上相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的袋子中裝有僅顏色不同的10個小球,其中紅球4個,黑球6個.
(1)先從袋子中取出m(m>1)個紅球,再從袋子中隨機摸出1個球,將“摸出黑球”記為事件A,請完成下列表格;
(2)先從袋子中取出m個紅球,再放入m個一樣的黑球并搖勻,隨機摸出1個黑球的概率等于,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分線,∠ADE=70°,∠ACB=40°,求∠EDC和∠BDC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某養(yǎng)殖戶的養(yǎng)殖成本逐年增長,第一年的養(yǎng)殖成本為12萬元,第3年的養(yǎng)殖成本為16萬元.設(shè)養(yǎng)殖成本平均每年增長的百分率為x,則下面所列方程中正確的是( )
A. 12(1﹣x)2=16 B. 16(1﹣x)2=12 C. 16(1+x)2=12 D. 12(1+x)2=16
【答案】D
【解析】由題意可得:第二年的養(yǎng)殖成本為,
第三年的養(yǎng)殖成本為: ,
∴.
故選D.
【題型】單選題
【結(jié)束】
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【題目】一個布袋內(nèi)只裝有1個黑球和2個白球,這些球除顏色外其余都相同,隨機摸出一個球后放回并攪勻,再隨機摸出一個球,則兩次摸出的球都是黑球的概率是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在將式子(m>0)化簡時,
小明的方法是:===;
小亮的方法是: ;
小麗的方法是:.
則下列說法正確的是( 。
A. 小明、小亮的方法正確,小麗的方法不正確
B. 小明、小麗的方法正確,小亮的方法不正確
C. 小明、小亮、小麗的方法都正確
D. 小明、小麗、小亮的方法都不正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△AOB中,A,B兩點的坐標(biāo)分別為(2,4)、(5,2).
(1)將△AOB向左平移3個單位長度,向下平移4個單位長度,得到對應(yīng)的△A1O1B1,畫出△A1O1B1并寫出點A1、O1、B1的坐標(biāo).
(2)求出△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的兩實根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一邊長為7,若x1,x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長,求這個三角形的周長.
【答案】(1)m的值為6;(2)17.
【解析】試題分析:
(1)由題意和根與系數(shù)的關(guān)系可得:x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5;由(x1-1)(x2-1)=28,可得:x1x2-(x1+x2)=27;從而得到:m2+5-2(m+1)=27,解方程求得m的值,再由“一元二次方程根的判別式”進行檢驗即可得到m的值;
(2)①當(dāng)7為腰長時,則方程的兩根中有一根為7,代入方程可解得m的值(此時m的取值需滿足根的判別式△ ),將m的值代入原方程,可求得兩根(此時兩根和7需滿足三角形三邊之間的關(guān)系),從而可求得等腰三角形的周長;
②當(dāng)7為底邊時,則方程的兩根相等,由此可得“根的判別式△=0”,從而可得關(guān)于m的方程,解方程求得m的值,代入原方程可求得方程的兩根,再由三角形三邊之間的關(guān)系檢驗即可.
試題解析:
(1)(x1-1)(x2-1)=28,即x1x2-(x1+x2)=27,而x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5,
∴m2+5-2(m+1)=27,
解得m1=6,m2=-4,
又Δ=[-2(m+1)]2-4×1×(m2+5)≥0時,m≥2,
∴m的值為6;
(2) 若7為腰長,則方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的一根為7,
即72-2×7×(m+1)+m2+5=0,
解得m1=10,m2=4,
當(dāng)m=10時,方程x2-22x+105=0,根為x1=15,x2=7,不符合題意,舍去.
當(dāng)m=4時,方程為x2-10x+21=0,根為x1=3,x2=7,此時周長為7+7+3=17
若7為底邊,則方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有兩等根,
∴Δ=0,解得m=2,此時方程為x2-6x+9=0,根為x1=3,x2=3,3+3<7,不成立,
綜上所述,三角形周長為17
點睛:(1)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系成立的前提條件是方程要有實數(shù)根,即“根的判別式△ ”;(2)涉及三角形邊長的問題中,解得的結(jié)果都需要用“三角形三邊之間的關(guān)系”檢驗,看三條線段能否圍成三角形.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】如圖,已知在△ABC中,D是AB的中點,且∠ACD=∠B,若 AB=10,求AC的長.
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