Question

【題目】如圖，已知拋物線過點，，過定點的直線:與拋物線交于、兩點，點在點的右側(cè)，過點作軸的垂線，垂足為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在拋物線上運動時，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系（、、），并證明你的判斷；

（3）為軸上一點，以、、、為頂點的四邊形是菱形，設(shè)點，求自然數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）6

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；
（2）設(shè)B（，），而F（0，2），利用兩點間的距離公式得到，再利用配方法可得到，由于BC＝，所以BF＝BC；
（3）利用菱形的性質(zhì)得到CB＝CF＝PF，加上CB＝FB，則可判斷△BCF為等邊三角形，所以∠BCF＝60°，則∠OCF＝30°，于是可計算出CF＝4，所以PF＝CF＝4，從而得到自然數(shù)m的值為6；

解：（1）把點（2，2），（4，5）代入得
，

解得:
所以拋物線解析式為；
（2）BF＝BC．
理由如下：
設(shè)B（，），而F（0，2），
∴，

∴，
∵BC⊥x軸，
∴BC＝，
∴BF＝BC；
（3）如圖，

m為自然數(shù)，

則點P在F點上方，
∵以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，
∴CB＝CF＝PF，
而CB＝FB，
∴BC＝CF＝BF，
∴△BCF為等邊三角形，
∴∠BCF＝60°，
∴∠OCF＝30°，
在 中，CF＝2OF＝4，
∴PF＝CF＝4，
span>∴P（0，6），
即自然數(shù)m的值為6.