【題目】如圖 1,兩個(gè)完全相同的三角形紙片 ABC 和 DEC 重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
⑴ 操作發(fā)現(xiàn):如圖 2,固定△ABC,使△DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn) D 恰好落在 AB 邊上時(shí), 填空:
①線段 DE 與 AC 的位置關(guān)系是 ;
②設(shè)△BDC 的面積為 S1,△AEC 的面積為 S2,則 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系是 .
⑵ 猜想論證
當(dāng)△DEC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 所示的位置時(shí),請(qǐng)猜想(1)中 S1 與 S2 的數(shù)量關(guān)系是否仍 然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
⑶ 拓展探究
已知∠ABC=60°,BD 平分∠ABC,BD=CD,BE=6,DE∥AB 交 BC 于點(diǎn) E(如圖 4).若在射線 BA 上存在點(diǎn) F,使 S△DCF=S△BDE,請(qǐng)求相應(yīng)的 BF 的長(zhǎng).
【答案】(1)①DE∥AC,②S1=S2;(2)S△BDC=S△AEC,理由見詳解;(3)6或12
【解析】
(1)①證明∠EDC=∠DCA=60°即可判斷.
②首先證明AD=BD,推出△ADC與△BDC的面積相等,再證明△ADC與△ACE的面積相等即可.
(2)作AN⊥EC交EC的延長(zhǎng)線于N,DM⊥BC于M,證明△ACN≌△DCM(AAS)即可解決問(wèn)題.
(3)過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等,根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn),根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.
(1)①如圖2中,
由旋轉(zhuǎn)可知:CA=CD,
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠CAD=60°,
∴△ADC是等邊三角形,
∴∠DCA=60°,
∵∠ECD=90°,∠DEC=30°,
∴∠CDE=60°,
∴∠EDC=∠DCA,
∴DE∥AC,
②∵AB=2AC,AD=AC,
∴AD=BD,
∴S△BDC=S△ADC,
∵DE∥AC,
∴S△ADC=S△ACE,
∴S1=S2.
故答案為:DE∥AC,S1=S2.
(2)如圖3中,分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高
∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
在△ACN和△DCM中,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴S△BDC=S△AEC.
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE,
DE∥AB,DF∥BE
∴四邊形BEDF是平行四邊形
∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,DE∥AB,
∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°,
∴ED=EB
∴平行四邊形BEDF是菱形
所以BE=DF,且BE、DF上的高相等,
此時(shí)=S△BDE;
過(guò)點(diǎn)D作DF′⊥BD,
∵∠ABC=60°,F1D∥BE,
∴∠F′FD=∠ABC=60°,
∵BF=DF,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F′DB=90°,
∴∠FD F′=60°,
∴△DF F′是等邊三角形,
∴DF=D F′,
∵BD=CD,∠
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,
∴∠CDF=180°-∠BCD=180°-30°=150°,
∠CD F′=360°-150°-60°=150°,
∴∠CDF∠CD F′,
∵在△CDF和△CD F′中,
∴△CDF≌△CD F′(SAS),
∵S△DCF=S△BDE,
∴點(diǎn)F′也是所求的點(diǎn),
∵BE=6,
∴BF=BE=DF=F F′=6,
∴B F′=12,
綜上,BF的長(zhǎng)為6或12.
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【題目】小敏思考解決如下問(wèn)題:
原題:如圖1,點(diǎn),分別在菱形的邊,上,,求證:.
(1)小敏進(jìn)行探索,若將點(diǎn),的位置特殊化:把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到,使,點(diǎn),分別在邊,上,如圖2,此時(shí)她證明了.請(qǐng)你證明.
(2)受以上(1)的啟發(fā),在原題中,添加輔助線:如圖3,作,,垂足分別為,.請(qǐng)你繼續(xù)完成原題的證明.
(3)如果在原題中添加條件:,,如圖1.請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題(不標(biāo)注新的字母),并直接給出答案(根據(jù)編出的問(wèn)題層次,給不同的得分).
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(2)若點(diǎn)F為線段BC上任意一點(diǎn),當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí),則∠BEF的度數(shù)為
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【題目】在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E,作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F,取FD的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、CG.
(1)如圖1,求證EG=CG且EG⊥CG.
(2)如圖2將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,求線段EG和CG有怎么樣的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)如圖3,將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度,線段EG和CG有怎么樣的關(guān)系?寫出你的猜想,不需證明.
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【題目】如圖,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D,∠D=15°,則∠A=__.
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【題目】如圖,EF∥AB,∠DCB=65°,∠CBF=15°,∠EFB=130°.
(1)直線CD與AB平行嗎?為什么?
(2)若∠CEF=68°,求∠ACB的度數(shù).
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【題目】“十一”黃金周期間,某動(dòng)物園在天假期中每天旅游的人數(shù)變化如下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù),負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù))
日期 | 10月1日 | 10月2日 | 10月3日 | 10月4日 | 10月5日 | 10月6日 | 10月7日 |
人數(shù)變化 (單位:萬(wàn)人) | +1.6 | +0.8 | +0.4 | -0.4 | -0.8 | +0.2 | -1.2 |
(1)若月日的游客人數(shù)記為萬(wàn)人,請(qǐng)用含的代數(shù)式表示月日的游客人數(shù),并直接寫出七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是哪一天?
(2)若月日的游客人數(shù)為萬(wàn)人,門票每人元,問(wèn)黃金周期間該動(dòng)物園門票總收入是多少萬(wàn)元?
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