Question

【題目】如圖1，已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x

（1）A、B兩點(diǎn)的距離AB=　 　；

（2）在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PB=6？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，若點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)A以每秒5個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒20個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中，M、N分別是AP、OB的中點(diǎn)，問：的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）當(dāng)x=﹣1.5或3.5時(shí)，PA+PB=5；（3）的值不發(fā)生變化，理由詳見解析．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出AB的長(zhǎng)；

（2）分三種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，由PA+PB=5可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B中間時(shí)，由PA+PB=4與PA+PB=5沖突，舍去；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，由PA+PB=5可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，找出OP、OA、OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出AP的長(zhǎng)度，由M、N分別是AP、OB的中點(diǎn)，可得出AM、OM、MN的長(zhǎng)度，再代入中即可求出結(jié)論．

（1）A、B兩點(diǎn)的距離AB=3﹣（﹣1）=4，

故答案為：4；

（2）分三種情況考慮：

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)：PA+PB=|x+1|+|x﹣3|=﹣（x+1）﹣（x﹣3）=﹣2x+2=5，

解得：x=﹣1.5；

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B中間時(shí)：PA+PB=4（舍去）；

③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)：PA+PB=|x+1|+|x﹣3|=（x+1）+（x﹣3）=2x﹣2=5，

解得：x=3.5；

綜上所述：當(dāng)x=﹣1.5或3.5時(shí)，PA+PB=5；

（3）的值不發(fā)生變化，

理由如下：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，則OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，

∴AP=OA+OP=5t+1+t=6t+1，

∴2AP=12t+2，

∵M、N分別是AP、OB的中點(diǎn)，

∴AM=AP=3t+，ON=OB=10t+，

∴OM=OA﹣AM=5t+1﹣（3t+）=2t+，

∴MN=OM+ON=2t++10t+=12t+2，

∴2AP =MN=12t+2，

∴的值不發(fā)生變化．