【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是菱形,點C的坐標(biāo)為(3,4),平行于對角線AC的直線m從原點O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,設(shè)直線m與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N,直線m運動的時間為t(秒).
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)MN=AC時,求t的值;
(3)設(shè)△OMN的面積為S,求S與t的函數(shù)表達(dá)式,并確定S的最大值.
【答案】(1)點B的坐標(biāo)為(8,4);(2)或;(3);當(dāng)t=5時,S最大值=10.
【解析】
(1)過點C作CH⊥OA于H,由勾股定理求出OC,得出CB,即可得出結(jié)果;
(2)分兩種情況:①當(dāng)0≤t≤5時,由菱形的性質(zhì)得出OA=AB=BC=OC=5,OC∥AB.由平行線得出△OMN∽△OAC,得出比例式求出OM即可;
②當(dāng)5≤t≤10時,設(shè)直線MN與OA交于點E.同①可得AM=.再證出△AEM∽△OAC.得出對應(yīng)邊成比例求出AM=AE,得出OE即可;
(3)分兩種情況①當(dāng)0≤t<5時,求出△OAC的面積,再由相似三角形的性質(zhì)得出,即可得出結(jié)果;
②當(dāng)5≤t≤10時,過點M作MT⊥x軸于T,由△BMN∽△AME可知,MT=(t﹣5),得出S△OMN=S△ONE﹣S△OME= 即可得出結(jié)果.
解:(1)過點C作CH⊥OA于H,如圖1所示:
∵C (3,4),
∴CH=4,OH=3,
∴
∵四邊形OABC是菱形,
∴CB=OC=5,5+3=8,
∴點B的坐標(biāo)為(8,4);
(2)分兩種情況:
①當(dāng)0≤t≤5時,
如圖2所示:
∵四邊形OABC是菱形,
∴OA=AB=BC=OC=5,OC∥AB.
∵MN∥AC,
∴△OMN∽△OAC,
∴
∵
∴
∴
②當(dāng)5≤t≤10時,如圖3所示:
設(shè)直線MN與OA交于點E.,同①可得AM=.
∵OC∥AB,MN∥AC,
∴∠COA=∠MAE,∠CAO=∠MEA,
∴△AEM∽△OAC.
∴
∵OC=OA,
∴AM=AE,
∴
∴
綜上所述:或
(3)分兩種情況:
①當(dāng)0≤t<5時(如圖1),
∵△OMN∽△OAC,
∴,即
∴ (0≤t<5);
②當(dāng)5≤t≤10時,過點M作MT⊥x軸于T,如圖4所示:
由△BMN∽△AME可知,MT=(t﹣5),
∴S△OMN=S△ONE﹣S△OME=
綜上所述:
∴當(dāng)t=5時,S最大值=10.
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【題目】如圖,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)m°得到△EDC,若點A、D、E在同一直線上,∠ACB=n°,則∠ADC的度數(shù)是( 。
A. (m﹣n)°B. (90+n-m)°C. (90-n+m)°D. (180﹣2n﹣m)°
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【題目】在20km越野賽中,甲乙兩選手的行程y(單位:km)隨時間x(單位:h)變化的圖象
如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法:
①兩人相遇前,甲的速度小于乙的速度; ②出發(fā)后1小時,兩人行程均為10km;
③出發(fā)后1.5小時,甲的行程比乙多3km; ④甲比乙先到達(dá)終點.
其中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】在20km越野賽中,甲乙兩選手的行程y(單位:km)隨時間x(單位:h)變化的圖象
如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法:
①兩人相遇前,甲的速度小于乙的速度; ②出發(fā)后1小時,兩人行程均為10km;
③出發(fā)后1.5小時,甲的行程比乙多3km; ④甲比乙先到達(dá)終點.
其中正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖拋物線交x軸于點、,交軸于點;
(1)求拋物線的解析式;
(2)點從點A出發(fā),以1個單位/秒的速度向終點運動,同時點從點C出發(fā),以相同的速度沿軸正方向向上運動,運動的時間為秒,當(dāng)點到達(dá)點時,點也停止運動,設(shè)的面積為,求與間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點在線段上時,設(shè)交直線于點,過作于點,求的長.
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【題目】脫貧攻堅,讓貧困群眾更有幸福感,在黨和政府的幫扶下,小剛家的網(wǎng)絡(luò)商店(簡稱網(wǎng)店)將顧縣豆腐干、蓮橋米粉等優(yōu)質(zhì)土特產(chǎn)迅速銷往全國,小剛家網(wǎng)店中顧縣豆腐干和蓮橋米粉這兩種商品的相關(guān)信息如下表:
商品 | 顧縣豆腐干 | 蓮橋米粉 |
規(guī)格 | 1kg/袋 | 2kg/袋 |
成本(元/袋) | 20 | 19 |
售價(元/袋) | 30 | 27 |
根據(jù)上表提供的信息,解答下列問題:
(1)已知今年前五個月,小剛家網(wǎng)店銷售上表中規(guī)格的顧縣豆腐干和蓮橋米粉共1500kg,獲得利潤1.05萬元,求這前五個月小剛家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的顧縣豆腐干和蓮橋米粉各多少袋;
(2)根據(jù)之前的銷售情況,估計今年6月到10月這后五個月,小剛家網(wǎng)店還能銷售上表中規(guī)格的顧縣豆腐干和蓮橋米粉共1000kg,其中,這種規(guī)格的顧縣豆腐干的銷售量不低于300kg.假設(shè)這后五個月,銷售這種規(guī)格的顧縣豆腐干x(kg),銷售這種規(guī)格的顧縣豆腐干和蓮橋米粉獲得的總利潤為y(元),求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出這后五個月,小剛家網(wǎng)店銷售這種規(guī)格的顧縣豆腐干和蓮橋米粉至少獲得總利潤多少元.
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【題目】如圖(1)所示,一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上,梯子與地面所成的角為60度.
(1)求圖(1)中的AO與BO的長度;
(2)若梯子頂端A沿NO下滑,同時底端B沿OM向右滑行.
①如圖(2)所示,設(shè)A點下滑到C點,B點向右滑行到D點,并且AC:BD2:3,請計算AC的長度;
②如圖(3)所示,當(dāng)A點下滑到A點,B點向右滑行到B點時,梯子AB的中點P也隨之運動到P點,若POP15,試求AA的長度.
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