Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+2與x軸交于點B，與y軸交于點A，拋物線y=-x2+bx+c與線段AB交于點E，并經過原點O，且點E的橫坐標為．

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線上是否存在點C，使得以AC為直徑的圓恰好經過點B，若存在，求出所有滿足條件的點C的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)若D是第(2)小題中圓上的動點，直線y=x+m經過點D，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)點C(3,1)或；(3)≤m≤或.

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點E的坐標，由點O，E的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

（2）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，過點B作BC⊥AB，交拋物線于點C，交y軸于點F，則△AOB∽△BOF，利用相似三角形的性質可求出點F的坐標，由點B，F的坐標利用待定系數法可求出直線BC的表達式，聯立直線BC與拋物線的表達式成方程組，通過解方程組可求出點C的坐標；

（3）設線段AC1的中點為M，過點M作D1D2∥AB交⊙M于點D1，D2，過點D1作D1P1∥BC交y軸于點P1，過點D2作D2P2∥BC交y軸于點P2，過點M作MN∥BC交y軸于點N，過點P1作P1P3⊥D2P2于點P3，則四邊形D1P1P3D2為矩形，△OAB∽△P3P1P2，由點A，C1的坐標可得出點M的坐標及AC1的長度，結合直線BC的表達式可求出直線MN的表達式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點N的坐標，由△OAB∽△P3P1P2利用相似三角形的性質可得出P1P2的長度，由點M為線段D1D2的中點可得出點N為線段P1P2的中點，結合點N的坐標及P1P2的長度可得出點P1，P2的坐標，進而可得出m的取值范圍．

（1）∵ 直線y=-2x+2經過點E，點E的橫坐標為，

∴當x=時，y=-2×+2=1，

∴點E(，1)，

∵ 拋物線y=-x2+bx+c與線段AB交于點E，并經過原點O，

∴c=0，

∴，

解之：b=，

∴拋物線的解析式為：y=；

（2）∵ 直線y=-2x+2與x軸交于點B，與y軸交于點A，

當x=0時，y=2，

∴點A(0，2)，

當y=0時，-2x+2=0，

解之：x=1，

∴點B(1，0)，

∵ 以AC為直徑的圓恰好經過點B，

∴AB⊥BC，

∴KAB·KBC=-1，

∵ yAB=-2x+2，

設BC的函數解析式為：yBC=， 將點B代入得，

解之：b=，

∴yBC=，

解方程組，得或，

∴點C(3，1)或；

（3）∵點A(0，2)，C(3，1)，AC是直徑，

∴圓心O的坐標為：，

當直線與圓O1相切于點M時，

∴，

∴，

解之：x=，

∴點M(， )

∴r=O1M=，

∴，

整理得：16m2-24m-41=0，

解之：m1=， m2=，

∴≤m≤，

同理可得，

∴≤m≤或