Question

如圖，平面直角坐標系中，已知B（-3，0），C（3，0），點A（0，m）在y
軸正半軸上，P為線段OA上一動點（不與點A、O重合），BP交AC于點E、CP交AB于點F．
（1）求證：BE=CF；
（2）當m=4，BF=2AF時，求點F的坐標；
（3）以線段BE、CF、BC為邊構成一個新△BCG（點E與F重合于點G），如果存在點P，恰使S_△BCG=S_△BCA，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,坐標與圖形性質,三角形的面積,等腰三角形的性質

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)點B、C的坐標判斷出y軸是BC的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AB=AC，PB=PC，根據(jù)等邊對等角可得∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，然后利用“角邊角”證明△BCF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=CF；
（2）連接OF，先求出△AOB的面積，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出△BOF和△AOF的面積，再根據(jù)三角形的面積列式求出點F的橫坐標與縱坐標的長度，從而得解；
（3）設∠BAC=α，根據(jù)三角形的面積求出BE=BA，根據(jù)等邊對等角可得∠BEA=∠BAE=α，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質和直角三角形兩銳角互余求出∠ACB，再根據(jù)三角形的內角和定理求出α＜90°，根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角可得∠AEB＞∠ACB，然后求出α＞60°，然后分α=60°和90°時求出m的值即可得解．

解答：（1）證明：∵B（-3，0），C（3，0），
∴OB=OC，
∴y軸是BC的垂直平分線，
又∵點A在y軸正半軸上，點P在線段OA上，
∴AB=AC，PB=PC，
∴∠ABC=∠ACB，∠PBC=∠PCB，
在△BCF和△CBE中，

∠ABC=∠ACB BC=CB ∠PBC=∠PCB

，
∴△BCF≌△CBE（ASA），
∴BE=CF；

（2）解：如圖，連接OF，
∵m=4，OB=3，
∴S_△AOB=

1

2

×3×4=6，
∵BF=2AF，
∴S_△BOF=

2

1+2

×6=4，S_△AOF=

1

1+2

×6=2，
∴

1

2

y_F•3=4，

1

2

（-x_F）•4=2，
解得y_F=

8

3

，x_F=-1，
∴點F的坐標為（-1，

8

3

）；

（3）解：設∠BAC=α，
∵S_△BCG=S_△BCA，△BCG和△BCA都是等腰三角形，BC是公共邊，
∴BE=BA，
∴∠BEA=∠BAE=α，
∴∠ACB=90°-∠OAC=90°-

1

2

α，
在△ABE中，∠BEA+∠BAE=2α＜180°，
∴α＜90°，
在△BEC中，∠AEB＞∠ACB，
∴α＞90°-

1

2

α，
解得α＞60°，
故60°＜α＜90°，
當α=60°時，△ABC是等邊三角形，
∵OC=3，
∴m=AO=

3

OC=3

3

，
當α=90°時，△ABC是等腰直角三角形，
m=AO=OC=3，
∴m的取值范圍是3＜m＜3

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，坐標與圖形性質，等腰三角形的判定與性質，（2）從三角形的面積考慮求出點F的橫坐標與縱坐標是解題的關鍵，（3）根據(jù)三角形的面積求出BE=BA并求出∠BAC的范圍是解題的關鍵，也是本題的難點．