Question

【題目】如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使得以A、C、B、H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖1點(diǎn)M（1，﹣1）是第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，請(qǐng)求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）（﹣6，﹣2）;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】

（1）證明△MAC≌△OBA（AAS），根據(jù)三角形全等時(shí)對(duì)應(yīng)邊相等可得C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)平移規(guī)律可得三個(gè)H點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖3，作點(diǎn)M（1，-1）關(guān)于y軸的對(duì)點(diǎn)M'（-1，-1），連接CF1、MF1，由于|FM-FC|≤CM，當(dāng)C、M'、F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，連接CM'，與y軸交于點(diǎn)F即為所求，根據(jù)直線解析式，令x=0可得與y軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，過C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，

∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，

則∠MAC＝∠OBA，

在△MAC和△OBA中，

，

∴△MAC≌△OBA（AAS），

∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，

∴OM＝OA+AM＝2+4＝6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）

（2）答：如圖2，存在三個(gè)H點(diǎn)，

∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣6，﹣2），

∴根據(jù)B到A的平移規(guī)律可得C到H1的平移規(guī)律，則H1（﹣8，2），

同理得H2（﹣4，﹣6）、H3（4，﹣2）

（3）答：存在，F（0，﹣），

如圖3，作點(diǎn)M（1，﹣1）關(guān)于y軸的對(duì)點(diǎn)M'（﹣1，﹣1），

設(shè)y軸上存在一點(diǎn)F1，連接CF1、M'F1，由于|FM﹣FC|≤CM'，

當(dāng)C、M'、F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

連接CM'，與y軸交于點(diǎn)F即為所求，

設(shè)CM'的解析式為：y＝kx+b，

把C（﹣6，﹣2）、M'（﹣1，﹣1）代入得，，

解得：，

∴，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣，

∴F（0，﹣）．