Question

【題目】如圖①，△ABC與△ADE均是等腰直角三角形，直角邊AC、AD在同一條直線上，點G、H分別是斜邊DE、BC的中點，點F為BE的中點，連接GF、GH．

（1）猜想GF與GH的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；

（2）現(xiàn)將圖①中的△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）若AD＝2，AC＝4，將圖①中的△ADE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一周，直接寫出GH的最大值和最小值，并寫出取得最值時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1），（2）成立，理由見解析；（3）當(dāng)點D在線段BA的延長線上時，BD有最大值為AD+AB＝6，即GF最小值為3，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為90°．

【解析】

（1）連接CE，FH，BD，延長BD交CE于N，由“SAS”可證△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通過證明△GFH是等腰直角三角形，可得結(jié)論；
（2）連接CE，FH，BD，延長BD交CE于N，由“SAS”可證△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通過證明△GFH是等腰直角三角形，可得結(jié)論；
（3）由GH=GF，GF=BD，可得GF=BD，則當(dāng)點D在線段AB上時，BD有最小值為AB-AD=2，即GF最小值為，當(dāng)點D在線段BA的延長線上時，BD有最大值為AD+AB=6，即GF最小值為3，即可求解．

（1），

理由如下：連接CE，FH，BD，延長BD交CE于N，

∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°．

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．

又∵∠ACE+∠CEA＝90°，

∴∠ABD+∠CEA＝90°，

∴∠BNE＝90°，

∵點G、F、H分別為ED、EB、BC的中點，

∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．

∴CF＝FH，∠ENB＝∠FOB＝∠GFH＝90°，

∴△GFH是等腰直角三角形，

∴GH＝GF；

（2）連接EC，FH，BD，EC交BD于點I，交GF于點M，FH交BD于N，

∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°，

∴∠CAB+∠DAC＝∠EAD+∠DAC．

∴∠EAC＝∠BAD，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．

又∵∠AOB＝∠COI，

∴∠OIC＝∠BAO＝90°，

∵點G、F、H分別為ED、EB、BC的中點，

∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．

∴GF＝FH．四邊形FMIN是平行四邊形，

∴∠MFN＝∠MIN＝180°﹣90°＝90°，

∴△GFH是等腰直角三角形，

∴；

（3）∵GH＝GF，GF＝BD，

∴GF＝BD，

∴當(dāng)BD有最大值時，GF有最大值，當(dāng)BD有最小值時，GF有最小值，

∴當(dāng)點D在線段AB上時，BD有最小值為AB﹣AD＝2，即GF最小值為，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為270°；

當(dāng)點D在線段BA的延長線上時，BD有最大值為AD+AB＝6，即GF最小值為3，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為90°．