【題目】如圖,P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=5,PB=4,PC=3,將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△CQB.求:
(1)點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離;
(2)求∠BPC的度數(shù).
【答案】
(1)解:連結(jié)PQ,如圖,
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=60°,BA=BC,
∵△QCB是△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的,
∴BP=BQ,∠PBQ=∠ABC=60°,CQ=AP=5,
∵BP=BQ=4,∠PBQ=60°,
∴△PBQ是等邊三角形,
∴PQ=PB=4
(2)解:∵QC=5,PC=3,PQ=4,
而32+42=52,
∴PC2+PQ2=CQ2,
∴△PCQ是直角三角形,且∠QPC=90°,
∵△PBQ是等邊三角形,
∴∠BPQ=60°,
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°.
【解析】(1)連結(jié)PQ,如圖,根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)得∠ABC=60°,BA=BC,再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BQ,∠PBQ=∠ABC=60°,CQ=AP=5,BP=BQ=4,∠PBQ=60°,于是可判斷△PBQ是等邊三角形,所以PQ=PB=4;(2)先利用勾股定理的逆定理證明△PCQ是直角三角形,且∠QPC=90°,再加上∠BPQ=60°,然后計(jì)算∠BPQ+∠QPC即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解等邊三角形的性質(zhì)(等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°),還要掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象對(duì)稱軸是直線x=1,則下列結(jié)論:
①a<0,b<0,
②2a﹣b>0,
③a+b+c>0,
④a﹣b+c<0,
⑤當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而減小,
其中正確的是( )
A.①②③
B.②③④
C.③④⑤
D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABN和△ACM位置如圖所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求證:BD=CE;
(2)求證:∠M=∠N.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí),老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:
尺規(guī)作圖:過圓外一點(diǎn)作圖的切線。
已知:P為圓O外一點(diǎn)。
求作:經(jīng)過點(diǎn)P的圓O的切線。
小敏的作法如下:
①連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)C;
②以點(diǎn)C為圓心,CO的長(zhǎng)為半徑作圓交圓O于A、B兩點(diǎn);
③作直線PA、PB,所以直線PA、PB就是所求作的切線。
老師認(rèn)為小敏的作法正確.
請(qǐng)回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是;由此可證明直線PA,PB都是⊙O的切線,其依據(jù)是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn),連接CE,把△CDE沿CE翻折,得到△CPE,EP交AC于點(diǎn)F,CP交BD于點(diǎn)G,連接PO,若PO∥BC,則四邊形OFPG的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同,則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.
(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1),若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”,求函數(shù)y2的表達(dá)式,并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí),y2的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問徑幾何?”用現(xiàn)代的語言表述為:“如果AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB于E,AE=1寸,CD=10寸,那么直徑AB的長(zhǎng)為多少寸?”請(qǐng)你補(bǔ)全示意圖,并求出AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先化簡(jiǎn),再求值:(1)(2x2+x﹣1)﹣[4x2+(5﹣x2+x)],其中x=﹣3.
(2)已知A=5x2﹣2xy﹣2y2,B=x2﹣2xy﹣y2,其中x=,y=﹣,求A﹣B的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C在一次函數(shù)的圖象上,它們的橫坐標(biāo)依次為,1,2,分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線,則圖中陰影部分的面積之和是( 。
A. 1 B. 3 C. D.
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