Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（6，n）在邊AB上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，E，且tan∠BOA=

1

3

．
（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕分別與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)H、G，求線段OG的長．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)E（6，n）在邊AB上得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)tan∠BOA=

1

3

可求出AB的長；
（2）先根據(jù)點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象上得出其解析式，把點(diǎn)E（6，n）代入反比例函數(shù)的解析式即可得出n的值；
（3）連接GF，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出GF=OG，設(shè)OG=t，則CF=2-t，再求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出t的值即可．

解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)E（6，n）在邊AB上，
∴A（6，0）．
∵tan∠BOA=

1

3

，
∴

AB

6

=

1

3

，
解得AB=2；

（2）∵AB=2，A（6，0），
∴B（6，2）．
∵點(diǎn)D為對角線OB的中點(diǎn)，
∴D（3，1）．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

．
∵點(diǎn)E（6，n）也在反比例函數(shù)的圖象上，
∴n=

3

6

=

1

2

．

（3）連接GF，
∵將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，
∴GF=OG，設(shè)OG=t，則CF=2-t．
∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)的圖象上，
∴當(dāng)y=2時(shí)，x=

3

2

，即F（

3

2

，2），
∴CF=

3

2

．
在Rt△CGF中，
∵CG²+CF²=GF²，即（2-t）²+（

3

2

^）2=t²，解得t=

25

8

，即OG=

25

8

．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．