【題目】(1)探索發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,△ABD與△ADC面積分別記為S1和S2,試判斷與的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)閱讀分析
小東遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖2,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,射線AM交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E,F在AM上,且∠CEM=∠BFM=90°,試判斷BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.
小東利用一對(duì)全等三角形,經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得以解決.
填空:①圖2中的一對(duì)全等三角形為_________;
②BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為__________________.
(3)類比探究
如圖3,在四邊形ABCD中,AB=AD,AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F在射線AC上,且∠BCF=∠DEF=∠BAD.
①判斷BC,DE,CE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②若OD=3OB,△AED的面積為2,直接寫(xiě)出四邊形ABCD的面積.
【答案】(1)=;(2)①△AEC≌△BFA,②EC=EF+BF; (3)①DE=BC+CE, ②8
【解析】
(1)過(guò)點(diǎn)A作AEBC,然后根據(jù)三角形面積公式求得兩個(gè)三角形的面積,即可得出答案;(2)依據(jù)AAS可證明△AEC≌△BFA,由全等三角形的性質(zhì)可得,AE=BF,EC=AF,由AF=EF+AE,通過(guò)等量代換即可得出答案;
(3)①依據(jù)AAS可證明△ABC≌△DAE,通過(guò)等量代換即可得出答案,②因?yàn)椤鰽ED的面積為2,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得S△ABC=2,然后根據(jù)(1)中的結(jié)論可求S△ADC=3S△ABC=6,即可得到答案.
解:(1)=,
理由:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AEBC,
∵S1=S△ABD=BDAE,S2= S△ADC=DCAE,
∴==;
(2)①△AEC≌△BFA,
理由:∵∠CEM=∠BFM=90°,
∴∠BFA=∠AEC=90°,
∴∠ABF+∠BFA=90°,
又∵∠BFA+∠FAC=90°,
∴∠ABF=∠EAC,
∵∠BFA=∠AEC=90°,
∠ABF=∠EAC,AB=AC,
∴△AEC≌△BFA.
②EC=EF+BF,
理由:∵△AEC≌△BFA,
∴AE=BF,EC=AF,
又∵AF=EF+AE,
∴EC=EF+BF.
(3)①DE=BC+CE,
理由:∵∠BCF=∠DEF,
∴∠AED=∠BCA,
∵∠ADE+∠EAD=∠DEF,
∠ABF+∠FAD=∠BAD,
∠DEF=∠BAD,
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠AED=∠BCA,
∠BAC=∠ADE,AB=AD,
∴△ABC≌△DAE,
∴BC=AE,DE=AC,
又∵AC=AE+EC,
∴DE=BC+CE.
②∵△ABC≌△DAE, S△AED=2,
∴S△ABC=2,
∵OD=3OB,
∴,,
∴S△ADC=3S△ABC=6,
∴S四邊形ABCD= S△ADC+ S△ABC=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,點(diǎn)O在線段AE上,⊙O過(guò)B,D兩點(diǎn),若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求證:CB是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,D、E分別是△ABC的邊BC、AC上的點(diǎn),且AB=AC,AD=AE.
(1)若∠BAD=20°,則∠EDC= °.
(2)若∠EDC=20°,則∠BAD= °.
(3)設(shè)∠BAD=α,∠EDC=β,你能由(1)(2)中的結(jié)果找到α、β間所滿足的關(guān)系嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=AD.
(1)作∠A的平分線交CD于E;
(2)過(guò)B作CD的垂線,垂足為F;
(3)請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)全等三角形(不添加任何字母),并選擇其中一對(duì)加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的函數(shù)(為常數(shù))
(1)若函數(shù)的圖象與軸恰有一個(gè)交點(diǎn),求的值;
(2)若函數(shù)的圖象是拋物線,且頂點(diǎn)始終在軸上方,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且.連接PB,試探究PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系.
圖1 圖2
(1)當(dāng)α=60°時(shí),將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接,如圖1所示.
由≌可以證得是等邊三角形,再由可得∠APC的大小為 度,進(jìn)而得到是直角三角形,這樣可以得到PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系為 ;
(2)如圖2,當(dāng)α=120°時(shí),請(qǐng)參考(1)中的方法,探究PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系,并給出證明;
(3)PA,PB,PC滿足的等量關(guān)系為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E、F.四邊形AFCE是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要建一個(gè)如圖所示的面積為300 的長(zhǎng)方形圍欄,圍欄總長(zhǎng)50m,一邊靠墻(墻長(zhǎng)25m),
(1)求圍欄的長(zhǎng)和寬;
(2)能否圍成面積為400 的長(zhǎng)方形圍欄?如果能,求出該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明租用共享單車從家出發(fā),勻速騎行到相距2400米的郵局辦事.小明出發(fā)的同時(shí),他的奶奶以每分鐘60米的速度從郵局沿同一條道路步行回家,小明在郵局停留了2分鐘后沿原路按原速的返回,如圖是兩人離家的距離(米)與小明出發(fā)的時(shí)間 (分)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象信息解答下列問(wèn)題:
(1)小明去時(shí)的速度為______米/分;
(2)出發(fā)后______分鐘兩人第一次相遇;
(3)直接寫(xiě)出奶奶離家的距離與時(shí)間的關(guān)系式(不必寫(xiě)出自變量的取值范圍);
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