Question

【題目】閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：

黃金分割

天文學(xué)家開(kāi)普勒把黃金分割稱為神圣分割，并指出畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）和黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠寶，歷史上最早正式在書中使用“黃金分割”這個(gè)名稱的是歐姆，19世紀(jì)以后“黃金分割”的說(shuō)法逐漸流行起來(lái)，黃金分割被廣泛應(yīng)用于建筑等領(lǐng)域．黃金分割指把一條線段分為兩部分，使其中較長(zhǎng)部分與線段總長(zhǎng)之比等于較短部分與較長(zhǎng)部分之比，該比值為．用下面的方法（如圖①）就可以作出已知線段的黃金分割點(diǎn)：

①以線段為邊作正方形，

②取的中點(diǎn)，連接，

③延長(zhǎng)到，使，

④以線段為邊作正方形，點(diǎn)就是線段的黃金分割點(diǎn)．

以下是證明點(diǎn)就是線段的黃金分割點(diǎn)的部分過(guò)程：

證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則，

為中點(diǎn)，

，

在中，，

，

，

，

…

任務(wù)：

（1）補(bǔ)全題中的證明過(guò)程；

（2）如圖②，點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，分別以為邊在線段同側(cè)作正方形和矩形，連接．求證：；

（3）如圖③，在正五邊形中，對(duì)角線與分別交于點(diǎn)求證：點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則AB=AD=1，由勾股定理得出，得出，求出，由正方形的性質(zhì)得出，求出，即可得出結(jié)論；

（2）由正方形和矩形的性質(zhì)得出∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF，BC=DF，由點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，得出，因此，即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽△AED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∴AE：AD=AM：AE，得到AE2=ADAM，等量代換即可得到結(jié)論．

（1）證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則AB=AD=1，

∵E為AD中點(diǎn)，

∴AE=，

∴在Rt△BAE中，

∵EF=BE

∴

∴，

∵四邊形AFGH是正方形，

∴，

∴，

∴點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)；

（2）證明：∵四邊形ACDE是正方形，四邊形CBFD是矩形，

∴∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF，BC=DF，

∵點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，

∴，

∴，

∴△EAB∽△BCD；

（3）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，

∴∠BAE=∠AED=（5-2）×180°=108°，AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=（180°-108°）=36°，

∵∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，

∴△AME∽△AED，

∴AE：AD=AM：AE，

∴AE2=ADAM，

∵AE=DE=DM，/span>

∴DM2=ADAM，

∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．