Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=40，BC=60，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BE-EC以每秒5個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC以每秒3個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P沿著BE方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E位置時(shí)，請(qǐng)你確定此時(shí)點(diǎn)Q的位置；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BE上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括B，E），請(qǐng)你判斷四邊形ABQP的形狀，并說明理由；
（3）設(shè)四邊形ABQP的面積為S，請(qǐng)你寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形ABQP的面積S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)Q位于BC的中點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件解答即可；
（2）四邊形ABQP是直角梯形，過點(diǎn)E作EF⊥BC與點(diǎn)F，利用兩邊比值相等以及其夾角相等時(shí)兩個(gè)三角形相似判定△PBQ∽△EBF，再有相似的性質(zhì)即可證明四邊形ABQP是直角梯形；
（3）本題需要分①當(dāng)0＜t＜10時(shí)②當(dāng)t=10時(shí)，③當(dāng)10＜t＜20時(shí)三種情況討論，再分別求出出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）有（3）可知每種情況下的s與t的函數(shù)關(guān)系式，利用梯形的面積公式和矩形的面積公式以及二次函數(shù)的最值求出其面積，再比較大小即可．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=30，
∵AB=40，
∴BE=50，t=50÷5=10，
∴BQ=10×3=30．
∴此時(shí)點(diǎn)Q位于BC的中點(diǎn)；

（2）四邊形ABQP是直角梯形．
如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥BC與點(diǎn)F．
則BF=30，BP=5t，BQ=3t，
又∵BE=50，
∴

BP

BE

=

BQ

BF

，
又∵∠PBQ=∠EBF．
∴△PBQ∽△EBF，
∴∠PQB=∠EFB=90°．
∴PQ∥EF∥AB，
∴四邊形ABQP是直角梯形；

（3）①當(dāng)0＜t＜10時(shí)，由（2）可知四邊形ABQP是直角梯形，
∴S=

1

2

（PQ+AB）BQ=

1

2

（4t+40）×3t=6t²+60t，
②當(dāng)t=10時(shí)，易知四邊形ABQP是矩形，
∴S=30×40=1200，
③當(dāng)10＜t＜20時(shí)，如圖4，過點(diǎn)P作PN⊥EF與點(diǎn)N，
則∠PNE=∠CFE=90°，
又∵∠PEN=∠CEF，
∴△PEN∽△CEF．
∴

PN

CF

=

EP

EC

=

EN

EF

．
又∵EP=5t-50，EC=50，CF=30，EF=40．
∴EN=4t-40，PN=3t-30，
又∵BQ=3t，
∴FQ=3t-30，
∴PN=FQ，易知四邊形NFQP為矩形，
∴PQ∥NF，PQ=NF=80-4t．
∴PQ∥AB，
∴四邊形ABQP為直角梯形．
∴S=

1

2

（PQ+AB）BQ=

1

2

（80-4t+40）×3t=-6t²+180t（10＜t＜20）；

（4）當(dāng)0＜t＜10時(shí)，S=6t²+60t，0＜S＜1200；
當(dāng)t=10時(shí)，S=1200；
當(dāng)10＜t＜20時(shí)，S=-6t²+180t=-6（t-15）²+1350，
當(dāng)t=15時(shí)，S=1350．
綜上所述，四邊形ABQP的面積S存在最大值，最大值為1350．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合性的考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)和判定、矩形的面積公式梯形的面積公式以及二次函數(shù)的最值問題和討論討論思想，題目難度很大，綜合性很強(qiáng)，是一道中考?jí)狠S題．