Question

【題目】如圖，拋物線 y =-x2+3x +4 與x軸負(fù)半軸相交于A點(diǎn)，正半軸相交于B點(diǎn)，與 y 軸相交于C 點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線 BC 對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，連接BD，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）（，）．

【解析】

(1)先求得點(diǎn) C的坐標(biāo)，判斷出CD∥AB，求出CD=3，進(jìn)而判斷出點(diǎn)E在y軸上，進(jìn)而求出CE=3，即可得出結(jié)論；
(2)先判斷出∠CBD=∠PBF，進(jìn)而判斷出△BFP∽△BGD，再求出CG，DG，BG，進(jìn)而得出，進(jìn)而設(shè)出PF得出BF，OF，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論．

(1)將點(diǎn)(，)代入中，得：

，

解得：或3，

∵點(diǎn)在第一象限，

∴，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，4)；

令，則，

解得：，

令，則，

由題意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，

∴OC=OB=4，BC=，CD=3，

∵點(diǎn)C、點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，

∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，

∴點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)E在軸上．

根據(jù)對稱的性質(zhì)知：CD=CE=3 ，

∴，

∴點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，1)；

(2)作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，

由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．

∵，

∴∠CBD=∠PBF．

∵CD=3，∠DCB=45°，

∴CG=DG=，

∵BC=，

∴BG=

∴．

設(shè)，則，．

∴，

∵P點(diǎn)在拋物線上，

∴

解得：或t=0(舍去)．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．