【題目】解決問題時需要思考:是否解決過與其類似的問題.小明從問題1解題思路中獲得啟發(fā)從而解決了問題2.
(1)問題1:如圖①,在正方形ABCD中,E、F是BC、CD上兩點,∠EAF=45°.
求證:∠AEF=∠AEB.
小明給出的思路為:延長EB到H,滿足BH=DF,連接AH.請完善小明的證明過程.
(2)問題2:如圖②,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D為AB中點,E、F是AC、BC邊上兩點,∠EDF=45°.
①求點D到EF的距離.
②若AE=a,則S△DEF=(用含字母a的代數(shù)式表示).
【答案】
(1)證明:如圖①中,延長EB到H,滿足BH=DF,連接AH
∵AB=AD,∠ABH=∠D=90°,BH=DF,
∴△ADF≌ABH,
∴∠DAF=∠BAH,AF=AH,
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,
即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°,
∴∠EAH=∠EAF,
又∵AF=AH,AE=AE,
∴△AHE≌△AFE,
∴∠AEF=∠AEB.
(2)①解:過點D分別向AC、BC、EF作垂線,垂足分別為G、H、M,
∵∠ACB=90°,∴CGDH為矩形,∵AC=BC=4,D為AB中點,
∴DG=DH= BC=2,
∴四邊形CGDH為正方形,
由問題1知∠DEG=∠DEM,
∴DM=DG=2.
②
【解析】(2)②解:在Rt△DEG中,DE= = = , ∵S△AED= AEDG=a,
∵△DEF∽△AED,
∴ =( )2= ,
∴S△DEF= .
故答案為 .
問題1:如圖①中,延長EB到H,滿足BH=DF,連接AH,只要證明△AHE≌△AFE,即可推出∠AEF=∠AEB;問題2:(1)如圖②中,過點D分別向AC、BC、EF作垂線,垂足分別為G、H、M,利用(1)中即可,根據(jù)角平分線的性質定理即可解決問題,(2)在Rt△DEG中,DE= = = ,由S△AED= AEDG=a,△DEF∽△AED,推出 =( )2= ,由此即可解決問題;
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圓心O在△ABC內(nèi)部)經(jīng)過B、C兩點,交AB于點E,過點E作⊙O的切線交AC于點F.延長CO交AB于點G,作ED∥AC交CG于點D
(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖,已知∠AOB=∠COD=90°,試寫出兩個與圖①中角(直角除外)有關的結論:
(ⅰ)∠__ __=∠__ __,
(ⅱ)∠__ __+∠__ __=180°;
(2)請選擇(1)中的一個結論說明理由.
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【題目】已知,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,點 D 為 BC 的中點.
(1)點 E、F 分別為 AB、AC 上的中點,請按要求作出滿足條件的△ABC 圖形并證明:DE=DF;
(2)如圖①,若點 E、F 分別為 AB、AC 上的點,且 DE⊥DF,求證:BE=AF;
(3)若點 E、F 分別為 AB、CA 延長線上的點,且 DE⊥DF,那么 BE=AF 嗎?請利用圖②說明理由.
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【題目】某校學生在電腦培訓前后各參加了一次水平相同的考試,考分都以同一標準劃分成“不合格”、“合格”、“優(yōu)秀”三個等級.為了了解電腦培訓的效果,隨機抽取其中32名學生兩次考試考分等級制成統(tǒng)計圖(如圖),試回答下列問題:
(1)這32名學生經(jīng)過培訓,考分等級“不合格”的百分比由下降到;
(2)估計該校640名學生,培訓后考分等級為“合格”與“優(yōu)秀”的學生共有多少名.
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【題目】甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運往B地,已知甲出發(fā)0.5h后乙開始出發(fā),如圖,線段OP、MN分別表示甲、乙兩車離A地的距離S(km)與時間t(h)的關系,請結合圖中的信息解決如下問題:
(1)計算甲、乙兩車的速度及a的值;
(2)乙車到達B地后以原速立即返回. ①在圖中畫出乙車在返回過程中離A地的距離S(km)與時間t(h)的函數(shù)圖象;
②請問甲車在離B地多遠處與返程中的乙車相遇?
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【題目】尤秀同學遇到了這樣一個問題:如圖1所示,已知AF,BE是△ABC的中線,且AF⊥BE,垂足為P,設BC=a,AC=b,AB=c.
求證:a2+b2=5c2
該同學仔細分析后,得到如下解題思路:
先連接EF,利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA,故 ,設PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分別表示出來,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理計算,消去m,n即可得證
(1)請你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程.
(2)利用題中的結論,解答下列問題:在邊長為3的菱形ABCD中,O為對角線AC,BD的交點,E,F(xiàn)分別為線段AO,DO的中點,連接BE,CF并延長交于點M,BM,CM分別交AD于點G,H,如圖2所示,求MG2+MH2的值.
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