【題目】如圖,AB是大半圓O的直徑,AO是小半圓M的直徑,點(diǎn)P是大半圓O上一點(diǎn),PA與小半圓M交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥OP于點(diǎn)D.
(1)求證:CD是小半圓M的切線;
(2)若AB=8,點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合),設(shè)PD=x,CD2=y. ①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
②當(dāng)y=3時(shí),求P,M兩點(diǎn)之間的距離.
【答案】
(1)解:連接CO、CM,如圖1所示.
∵AO是小半圓M的直徑,
∴∠ACO=90°即CO⊥AP.
∵OA=OP,
∴AC=PC.
∵AM=OM,
∴CM∥PO.
∴∠MCD=∠PDC.
∵CD⊥OP,
∴∠PDC=90°.
∴∠MCD=90°,即CD⊥CM.
∵CD經(jīng)過半徑CM的外端C,且CD⊥CM,
∴直線CD是小半圓M的切線
(2)解:①∵CO⊥AP,CD⊥OP,
∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°.
∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P.
∴△ODC∽△CDP.
∴ .
∴CD2=DPOD.
∵PD=x,CD2=y,OP= AB=4,
∴y=x(4﹣x)=﹣x2+4x.
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),x=0;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),x=4;
∵點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合),
∴0<x<4.
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+4x,
自變量x的取值范圍是0<x<4.
②當(dāng)y=3時(shí),﹣x2+4x=3.
解得:x1=1,x2=3.
(i)當(dāng)x=1時(shí),如圖2所示.
在Rt△CDP中,
∵PD=1,CD= .
∴tan∠CPD= = ,
∴∠CPD=60°.
∵OA=OP,
∴△OAP是等邊三角形.
∵AM=OM,
∴PM⊥AO.
∴PM=
=
=2 .
(ii)當(dāng)x=3時(shí),如圖3所示.
同理可得:∠CPD=30°.
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠APO=30°.
∴∠POB=60°
過點(diǎn)P作PH⊥AB,垂足為H,連接PM,如圖3所示.
∵sin∠POH= = = ,
∴PH=2 .
同理:OH=2.
在Rt△MHP中,
∵M(jìn)H=4,PH=2 ,
∴PM=
=
=2 .
綜上所述:當(dāng)y=3時(shí),P,M兩點(diǎn)之間的距離為2 或2 .
【解析】(1)連接CO、CM,只需證到CD⊥CM.由于CD⊥OP,只需證到CM∥OP,只需證到CM是△AOP的中位線即可.(2)①易證△ODC∽△CDP,從而得到CD2=DPOD,進(jìn)而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.由于當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)x=0,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)x=4,點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(點(diǎn)P不與A,B兩點(diǎn)重合),因此自變量x的取值范圍為0<x<4.②當(dāng)y=3時(shí),得到﹣x2+4x=3,求出x.根據(jù)x的值可求出CD、PD的值,從而求出∠CPD,運(yùn)用勾股定理等知識就可求出P,M兩點(diǎn)之間的距離.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握由角的相等或互補(bǔ)(數(shù)量關(guān)系)的條件,得到兩條直線平行(位置關(guān)系)這是平行線的判定;由平行線(位置關(guān)系)得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)(數(shù)量關(guān)系)的結(jié)論是平行線的性質(zhì),以及對勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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【題目】如圖,∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE.且E,F(xiàn),C,D在同一直線上.
(1)求證:△ABC≌△ADE;
(2)若∠B=30°,∠BAC=100°,點(diǎn)F是CE的中點(diǎn),連結(jié)AF,求∠FAE的度數(shù).
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【題目】中國“蛟龍”號深潛器目前最大深潛極限為7062.68米.某天該深潛器在海面下1800米的A點(diǎn)處作業(yè)(如圖),測得正前方海底沉船C的俯角為45°,該深潛器在同一深度向正前方直線航行2000米到B點(diǎn),此時(shí)測得海底沉船C的俯角為60°.
(1)沉船C是否在“蛟龍”號深潛極限范圍內(nèi)?并說明理由;
(2)由于海流原因,“蛟龍”號需在B點(diǎn)處馬上上浮,若平均垂直上浮速度為2000米/時(shí),求“蛟龍”號上浮回到海面的時(shí)間.(參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732)
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E(與點(diǎn)B、C不重合)是BC邊上一點(diǎn),將線段EA繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF,過點(diǎn)F作BC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)G,連接CF.
(1)求證:△ABE≌△EGF;
(2)若AB=2,S△ABE=2S△ECF,求BE.
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【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn),則DM的長是( )
A. 2 B. C. D. 2
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【題目】閱讀下列材料:
(材料)如圖,對任意符合條件的直角三角形BAC,繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△DAE,所以∠BAE=90°,且四邊形ACFD是一個正方形,它的面積和四邊形ABFE面積相等,而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和,根據(jù)圖形我們就能證明勾股定理: .
(請回答)如圖是任意符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根據(jù)圖示再寫一種證明勾股定理的方法嗎?
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【題目】在直線L上依次擺放著七個正方形,已知斜放置的三個正方形的面積分別為1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4 , 則S1+2S2+2S3+S4=()
A. 5 B. 4 C. 6 D. 10
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A. 0 個 B. 1 個 C. 2 個 D. 3 個
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