Question

【題目】如圖，AB是大半圓O的直徑，AO是小半圓M的直徑，點(diǎn)P是大半圓O上一點(diǎn)，PA與小半圓M交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥OP于點(diǎn)D．
（1）求證：CD是小半圓M的切線；
（2）若AB=8，點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），設(shè)PD=x，CD2=y． ①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)y=3時(shí)，求P，M兩點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接CO、CM，如圖1所示．

∵AO是小半圓M的直徑，

∴∠ACO=90°即CO⊥AP．

∵OA=OP，

∴AC=PC．

∵AM=OM，

∴CM∥PO．

∴∠MCD=∠PDC．

∵CD⊥OP，

∴∠PDC=90°．

∴∠MCD=90°，即CD⊥CM．

∵CD經(jīng)過半徑CM的外端C，且CD⊥CM，

∴直線CD是小半圓M的切線

（2）解：①∵CO⊥AP，CD⊥OP，

∴∠OCP=∠ODC=∠CDP=90°．

∴∠OCD=90°﹣∠DCP=∠P．

∴△ODC∽△CDP．

∴ ．

∴CD2=DPOD．

∵PD=x，CD2=y，OP= AB=4，

∴y=x（4﹣x）=﹣x2+4x．

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，x=4；

∵點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），

∴0＜x＜4．

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+4x，

自變量x的取值范圍是0＜x＜4．

②當(dāng)y=3時(shí)，﹣x2+4x=3．

解得：x1=1，x2=3．

（i）當(dāng)x=1時(shí)，如圖2所示．

在Rt△CDP中，

∵PD=1，CD= ．

∴tan∠CPD= = ，

∴∠CPD=60°．

∵OA=OP，

∴△OAP是等邊三角形．

∵AM=OM，

∴PM⊥AO．

∴PM=

=

=2 ．

(ii)當(dāng)x=3時(shí)，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=30°．

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠APO=30°．

∴∠POB=60°

過點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H，連接PM，如圖3所示．

∵sin∠POH= = = ，

∴PH=2 ．

同理：OH=2．

在Rt△MHP中，

∵M(jìn)H=4，PH=2 ，

∴PM=

=

=2 ．

綜上所述：當(dāng)y=3時(shí)，P，M兩點(diǎn)之間的距離為2 或2 ．

【解析】（1）連接CO、CM，只需證到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需證到CM∥OP，只需證到CM是△AOP的中位線即可．（2）①易證△ODC∽△CDP，從而得到CD2=DPOD，進(jìn)而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式．由于當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)x=0，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)x=4，點(diǎn)P在大半圓O上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合），因此自變量x的取值范圍為0＜x＜4．②當(dāng)y=3時(shí)，得到﹣x2+4x=3，求出x．根據(jù)x的值可求出CD、PD的值，從而求出∠CPD，運(yùn)用勾股定理等知識(shí)就可求出P，M兩點(diǎn)之間的距離．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．