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【題目】如圖1,拋物線 經過 兩點,與 軸相交于點 ,連接 .點 為拋物線上一動點,過點 軸的垂線 ,交直線 于點 ,交 軸于點

求拋物線的表達式;

位于 軸右邊的拋物線上運動時,過點 直線 , 為垂足.當點 運動到何處時,以 , , 為頂點的三角形與 相似?并求出此時點 的坐標;

如圖2,當點 在位于直線 上方的拋物線上運動時,連接 , .請問 的面積 能否取得最大值?若能,請求出最大面積 ,并求出此時點 的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的表達式為 ;(2)點 的坐標為 ;(3)當 時, 的面積 能取最大值 ,此時 點坐標為

【解析】(1) 由題意得:

解得

拋物線的表達式為

(2) 點坐標為 ,

為等腰直角三角形,且 為直角.

, 為頂點的三角形與 相似,

為等腰直角三角形,

直線

,則 ,

,解得

的坐標為

(3) , ,

直線 的表達式為

,則 ,

時, 的面積 能取最大值 ,此時 點坐標為

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