Question

【題目】如圖，點E，F分別在矩形ABCD的邊AB，BC上，連接EF，將△BEF沿直線EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1．

（1）如圖1，當∠BEF＝45°時，EH的延長線交DC于點M，求HM的長；

（2）如圖2，當FH的延長線經過點D時，求tan∠FEH的值；

（3）如圖3，連接AH，HC，當點F在線段BC上運動時，試探究四邊形AHCD的面積是否存在最小值？若存在，求出四邊形AHCD的面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，四邊形的面積的最小值為.

【解析】

（1）當∠BEF=45°時，易知四邊形EBFH是正方形，求出EM，EH的長即可解決問題．

（2）如圖2中，連接DE．利用勾股定理求出DE，DH，設BF=FH=x，在Rt△DFC中，利用勾股定理即可解決問題．

（3）如圖3中，連接AC，作EM⊥AC于M．利用相似三角形的性質求出EM，由S四邊形AHCD=S△ACH+S△ADC，S△ACD=×6×8=24，推出當△ACH的面積最小時，四邊形AHCD的面積最小，可知當EH與EM重合時，點H到直線AC的距離最小，由此即可解決問題．

（1）如圖1中，

當時，易知四邊形是正方形，

∵，，

，，

，

四邊形是矩形，

，

，

.

（2）如圖2中，連接.

在中，，，

，

在中，

設，則，，

在中，，

，

，

.

（3）如圖3中，連接，作于.

，，

，

，

，

，

，，

當的面積最小時，四邊形的面積最小，

當與重合時，點到直線的距離最小，最小值，

的面積的最小值，

四邊形的面積的最小值為.