Question

9．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如圖，若A，B兩點的坐標分別是A（0，4），B（-2，0），求C點的坐標．
（2）如圖，點P是射線BA上A點右邊一動點，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點，若點P運動時，點Q是否恒在∠ABC的平分線上？若在，請說明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）要求點C坐標，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質求出OM、CM即可．
（2）要證明點Q是否恒在∠ABC的平分線上，只要證明QM=QN，只要證明△MFQ≌△NGQ即可．

解答 （1）解：如圖1中，作CM⊥OA垂足為M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CAM}\\{∠AOB=∠AMC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAM，
∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，
∴點C坐標（4，2）．
（2）結論：點Q是否恒在∠ABC的平分線上，理由如下：
如圖2中作QE⊥PF，QG⊥FC，QF⊥BC，QM⊥BP，QN⊥BC，垂足分別為E、G、F、M、N．
在四邊形QMBN中，∵∠QMB=∠QNB=90°，
∴∠MQN=180°-∠ABC=135°，
同理可證：∠FQG=135°，
∴∠MQN=∠FQG，
∴∠MQF=∠GQN，
∵PQ平分∠FPC，QF平分∠PFC，QE⊥PF，QF⊥PC，QG⊥FC，
∴QE=QF=QG，∠QPF=$\frac{1}{2}$∠CPF=22.5°，
∵∠PMQ=∠PFQ=90°，
∴M、F、Q、P四點共圓，
∴∠FMP=∠FPQ=22.5°，同理∠QNG=22.5°，
∴∠FMQ=∠QNG，
在△MFQ和△NGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMQ=∠QNG}\\{∠MQF=∠NQG}\\{QF=QG}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NGQ，
∴QM=QN，∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴BQ平分∠ABC，
∴點Q是否恒在∠ABC的平分線上．

點評 本題考查全等三角形的判定或性質、等腰直角三角形的性質、坐標與圖形的性質、四點共圓等知識，關鍵是構造全等三角形，過點Q向兩邊作垂線是證明角平分線的常用手段．