Question

【題目】把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．

（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ．此時(shí)，APCQ= ；

（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問APCQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由；

（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

【答案】（1）8．（2）APCQ的值不會(huì)改變．（3）當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=8﹣x﹣．當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=4﹣x﹣（或y=）．

【解析】

試題分析：（1）可通過證△APD∽△CDQ來(lái)求解．

（2）不會(huì)改變，關(guān)鍵是還是證△APD∽△CDQ，已知了一組45°角，關(guān)鍵是證（1）中的∠APD=∠QDC，由于圖2由圖1旋轉(zhuǎn)而得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，那么∠APD=90°﹣α，∠CDQ=90°﹣α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結(jié)論不變．

（3）本題分類兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)②當(dāng)45°≤α＜90°時(shí)．

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，

∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．

∴即AP×CQ=AD×CD，

∵AB=BC=4，

∴斜邊中點(diǎn)為O，

∴AP=PD=2，

∴AP×CQ=2×4=8；

故答案為：8．

（2）APCQ的值不會(huì)改變．

理由如下：

∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，

∠APD=180°﹣45°﹣（45°+α）=90°﹣α，

∠CDQ=90°﹣α，

∴∠APD=∠CDQ．

∴△APD∽△CDQ．

∴．

∴APCQ=ADCD=AD2=（AC）2=8．

（3）情形1：當(dāng)0°＜α＜45°時(shí)，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，

此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，

∴DG=DN=2

由（2）知：APCQ=8得AP=

于是y=ABBC﹣CQDN﹣APDG

=8﹣x﹣（2＜x＜4）

情形2：當(dāng)45°≤α＜90°時(shí)，0＜CQ≤2時(shí)，即0＜x≤2，此時(shí)兩三角板重疊部分為△DMQ，

由于AP=，PB=﹣4，易證：△PBM∽△DNM，

∴即解得．

∴MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣．

于是y=MQDN=4﹣x﹣（0＜x≤2）．

綜上所述，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=8﹣x﹣．

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=4﹣x﹣（或y=）．