Question

【題目】如圖，□ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結論：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OFDF．其中正確的是（ ）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①③

Answer 1

【答案】B

【解析】

①正確．只要證明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位線定理即可判斷．
②錯誤．想辦法證明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判斷．
③正確．設BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判斷．
④正確．求出BF，OF，DF（用a表示），通過計算證明即可．

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，OD=OB，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∵EC平分∠DCB，
∴∠ECB=∠DCB=60°，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，
∴△ECB是等邊三角形，
∴EB=BC，
∵AB=2BC，
∴EA=EB=EC，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，EA=EB，

∴OE∥BC，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，故①正確，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴ ，
∴OF=OB，
∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②錯誤，
設BC=BE=EC=a，則AB=2a，AC=a，OD=OB=a，
∴BD=a，
∴AC：BD=a：a=：7，故③正確，
∵OF=OB=a，
∴BF=a，
∴BF2=a2，OFDF=a a2，
∴BF2=OFDF，故④正確，
故選：B．