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3.已知:如圖,在矩形ABCD中,∠EDF兩邊分別與邊AB、BC交于E、F,與對角線交于G、H,且∠EDF=∠BDC,∠BDC=60°,AE=2,DH=13時,DG=4133

分析 先證明△DEB∽△DHC,得DEDH=DBDC=2,由此求出DE,利用勾股定理求出AD,CD,根據(jù)AE∥CD,得AECD=EGGD=12,即可解決問題.

解答 解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=BCD=90°,AB∥CD,OA=OC=OD=OB,
∴∠ABD=∠BDC=60°,∠DBC=90°-∠BDC=30°,
∴BD=2CD,△ODC是等邊三角形,
∴∠DCO=60°,
∵∠EDF=∠BDC=60°,
∴∠EDB=∠DHC,∵∠DEB=∠DCH,
∴△DEB∽△DHC,
DEDH=DBDC=2
∵DH=13,
∴DE=213,
在RT△ADE中,∵AE=2ED=213,
∴AD=DE2AE2=43
在RT△ADC中,∵∠DAC=30°,AD=43,
∵CD=4,
∵AE∥CD,
AECD=EGGD=12,
∴DG=23DE=4133
故答案為4133

點(diǎn)評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識,利用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,難點(diǎn)是正確尋找相似三角形.

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